1) Найти первообразную функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$, график которой проходит через точку $M(1; -2)$.

1) Найти первообразную функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$, график которой проходит через точку $M(1; -2)$. Для нахождения первообразной $F(x)$ нужно проинтегрировать функцию $f(x)$: $$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) dx$$ Разделим интеграл на отдельные части: $$F(x) = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 3 dx$$ Применяем правило интегрирования степени $x^n \Rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}$ и константы: $$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x + C$$ $$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$$ $$F(x) = x^3 + x^2 - 3x + C$$ Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; -2)$. Это значит, что при $x = 1$, $F(x) = -2$. $$-2 = (1)^3 + (1)^2 - 3(1) + C$$ $$-2 = 1 + 1 - 3 + C$$ $$-2 = -1 + C$$ Теперь найдем значение $C$: $$C = -2 + 1$$ $$C = -1$$ Подставляем найденное значение $C$ в выражение для $F(x)$: $$F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$$ **Ответ:** $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$ 2) Вычислить интеграл $\int_{1}^{2} 2x^2 dx$. Сначала найдём первообразную функции $2x^2$: $$\int 2x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + C$$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$\int_{1}^{2} 2x^2 dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{1}^{2}$$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(b) - F(a)$: $$= \frac{2(2)^3}{3} - \frac{2(1)^3}{3}$$ $$= \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}$$ $$= \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$$ $$= \frac{14}{3}$$ **Ответ:** $\frac{14}{3}$ 3) Вычислить интеграл $\int_{2}^{3} \frac{dx}{x^3}$. Перепишем подынтегральное выражение как $x^{-3}$: $$\int_{2}^{3} x^{-3} dx$$ Найдем первообразную функции $x^{-3}$: $$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$\int_{2}^{3} \frac{dx}{x^3} = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{2}^{3}$$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(b) - F(a)$: $$= \left( -\frac{1}{2(3)^2} \right) - \left( -\frac{1}{2(2)^2} \right)$$ $$= -\frac{1}{2 \cdot 9} - \left( -\frac{1}{2 \cdot 4} \right)$$ $$= -\frac{1}{18} + \frac{1}{8}$$ Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (72): $$= -\frac{1 \cdot 4}{18 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9}$$ $$= -\frac{4}{72} + \frac{9}{72}$$ $$= \frac{9 - 4}{72}$$ $$= \frac{5}{72}$$ **Ответ:** $\frac{5}{72}$ 4) Вычислить интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$. Найдем первообразную функции $\cos 2x$. Для этого используем замену переменной или вспомним, что $\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$: $$\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(b) - F(a)$: $$= \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 0)$$ $$= \frac{1}{2} \sin (\pi) - \frac{1}{2} \sin (0)$$ Мы знаем, что $\sin(\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$: $$= \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0$$ $$= 0 - 0$$ $$= 0$$ **Ответ:** $0$ 5) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 6$ и осью $Ox$. Сначала нужно найти точки пересечения параболы $y = x^2 - 6$ с осью $Ox$. Для этого приравняем $y$ к $0$: $$x^2 - 6 = 0$$ $$x^2 = 6$$ $$x = \pm\sqrt{6}$$ Точки пересечения: $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$. Так как парабола $y = x^2 - 6$ имеет ветви направленные вверх и пересекает ось $Ox$ при $y < 0$ между точками пересечения, то площадь фигуры будет находиться как определенный интеграл от функции $-(x^2 - 6) = 6 - x^2$ от $-\sqrt{6}$ до $\sqrt{6}$. $$S = \int_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}} (6 - x^2) dx$$ Найдем первообразную функции $6 - x^2$: $$\int (6 - x^2) dx = 6x - \frac{x^3}{3} + C$$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$S = \left[ 6x - \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(b) - F(a)$: $$= \left( 6\sqrt{6} - \frac{(\sqrt{6})^3}{3} \right) - \left( 6(-\sqrt{6}) - \frac{(-\sqrt{6})^3}{3} \right)$$ Заметим, что $(\sqrt{6})^3 = \sqrt{6} \cdot 6 = 6\sqrt{6}$ и $(-\sqrt{6})^3 = -6\sqrt{6}$: $$= \left( 6\sqrt{6} - \frac{6\sqrt{6}}{3} \right) - \left( -6\sqrt{6} - \frac{-6\sqrt{6}}{3} \right)$$ $$= \left( 6\sqrt{6} - 2\sqrt{6} \right) - \left( -6\sqrt{6} + 2\sqrt{6} \right)$$ $$= 4\sqrt{6} - (-4\sqrt{6})$$ $$= 4\sqrt{6} + 4\sqrt{6}$$ $$= 8\sqrt{6}$$ **Ответ:** $8\sqrt{6}$ 6) Для функции $f(x) = e^x - 3\sin x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $A(0; 2)$. Для нахождения первообразной $F(x)$ нужно проинтегрировать функцию $f(x)$: $$F(x) = \int (e^x - 3\sin x) dx$$ Разделим интеграл на отдельные части: $$F(x) = \int e^x dx - \int 3\sin x dx$$ Применяем правила интегрирования: $\int e^x dx = e^x + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$: $$F(x) = e^x - 3(-\cos x) + C$$ $$F(x) = e^x + 3\cos x + C$$ Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $A(0; 2)$. Это значит, что при $x = 0$, $F(x) = 2$. $$2 = e^0 + 3\cos(0) + C$$ Мы знаем, что $e^0 = 1$ и $\cos(0) = 1$: $$2 = 1 + 3(1) + C$$ $$2 = 1 + 3 + C$$ $$2 = 4 + C$$ Теперь найдем значение $C$: $$C = 2 - 4$$ $$C = -2$$ Подставляем найденное значение $C$ в выражение для $F(x)$: $$F(x) = e^x + 3\cos x - 2$$ **Ответ:** $F(x) = e^x + 3\cos x - 2$ 7) Вычислить интеграл $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$. Перепишем подынтегральное выражение как $x^{\frac{1}{2}}$: $$\int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx$$ Найдем первообразную функции $x^{\frac{1}{2}}$: $$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4}$$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(b) - F(a)$: $$= \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}}$$ Заметим, что $4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ и $1^{\frac{3}{2}} = 1$: $$= \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1$$ $$= \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$$ $$= \frac{14}{3}$$ **Ответ:** $\frac{14}{3}$ 8) Вычислить интеграл $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx$. Вынесем константу за знак интеграла: $$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{3x+1} dx$$ Для нахождения первообразной функции $\frac{1}{3x+1}$ используем замену переменной. Пусть $u = 3x+1$, тогда $du = 3dx$, или $dx = \frac{1}{3} du$. $$\int \frac{1}{3x+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln|u| + C = \frac{1}{3} \ln|3x+1| + C$$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$2 \left[ \frac{1}{3} \ln|3x+1| \right]_{0}^{1}$$ $$= \frac{2}{3} \left[ \ln|3x+1| \right]_{0}^{1}$$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(b) - F(a)$: $$= \frac{2}{3} (\ln|3(1)+1| - \ln|3(0)+1|)$$ $$= \frac{2}{3} (\ln|4| - \ln|1|)$$ Мы знаем, что $\ln(1) = 0$: $$= \frac{2}{3} (\ln 4 - 0)$$ $$= \frac{2}{3} \ln 4$$ **Ответ:** $\frac{2}{3} \ln 4$ 9) Изобразить фигуру, площадь которой равна $\int_{1}^{2} (2x - x^2) dx$, и вычислить эту площадь. Функция, которую интегрируем, это $y = 2x - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -1 < 0$). Найдем корни параболы: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$. Пределы интегрирования от 1 до 2. В этом интервале функция $y = 2x - x^2$ положительна, так как вершина параболы находится в точке $x = -b/(2a) = -2/(2(-1)) = 1$, и $y(1) = 2(1) - (1)^2 = 1$. :::div .chart-container @chart-1::: Вычислим площадь: $$S = \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx$$ Найдем первообразную функции $2x - x^2$: $$\int (2x - x^2) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C = x^2 - \frac{x^3}{3} + C$$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}$$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(b) - F(a)$: $$= \left( (2)^2 - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( (1)^2 - \frac{(1)^3}{3} \right)$$ $$= \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right)$$ $$= \left( \frac{12}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \right)$$ $$= \frac{4}{3} - \frac{2}{3}$$ $$= \frac{2}{3}$$ **Ответ:** $\frac{2}{3}$ 10) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2 + 4x - x^2$ и $y = x^2 - 2x + 2$. Сначала найдем точки пересечения двух парабол, приравняв их уравнения: $$2 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 2$$ Перенесем все члены в одну сторону: $$0 = x^2 - 2x + 2 - (2 + 4x - x^2)$$ $$0 = x^2 - 2x + 2 - 2 - 4x + x^2$$ $$0 = 2x^2 - 6x$$ Вынесем $2x$ за скобки: $$2x(x - 3) = 0$$ Точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Теперь определим, какая функция находится выше на интервале $[0, 3]$. Можно взять тестовую точку, например $x = 1$: Для $y_1 = 2 + 4x - x^2$: $y_1(1) = 2 + 4(1) - (1)^2 = 2 + 4 - 1 = 5$. Для $y_2 = x^2 - 2x + 2$: $y_2(1) = (1)^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$. Так как $y_1(1) > y_2(1)$, то на интервале $[0, 3]$ функция $y_1 = 2 + 4x - x^2$ находится выше функции $y_2 = x^2 - 2x + 2$. Площадь фигуры будет равна интегралу разности верхней и нижней функций: $$S = \int_{0}^{3} ((2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) dx$$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$S = \int_{0}^{3} (2 + 4x - x^2 - x^2 + 2x - 2) dx$$ $$S = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) dx$$ Найдем первообразную функции $-2x^2 + 6x$: $$\int (-2x^2 + 6x) dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + C$$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{3}$$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(b) - F(a)$: $$= \left( -\frac{2}{3}(3)^3 + 3(3)^2 \right) - \left( -\frac{2}{3}(0)^3 + 3(0)^2 \right)$$ $$= \left( -\frac{2}{3} \cdot 27 + 3 \cdot 9 \right) - (0 + 0)$$ $$= (-18 + 27)$$ $$= 9$$ **Ответ:** $9$