Докажи, что функция $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ является первообразной для функции $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ на всей числовой прямой.

1. Чтобы показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, нужно найти производную от $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$. Дана функция $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$. Найдем её производную: $$F'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) + \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(\cos x)$$ $$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x)$$ $$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$$ Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$. Значит, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на всей числовой прямой. 2. Нужно найти первообразную для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$, график которой проходит через точку $M(1; -2)$. Сначала найдем общую формулу первообразной $F(x)$: $$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) dx$$ $$F(x) = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 3 dx$$ $$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x + C$$ $$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$$ $$F(x) = x^3 + x^2 - 3x + C$$ Теперь используем условие, что график проходит через точку $M(1; -2)$. Это значит, что при $x=1$, $F(x) = -2$. Подставим эти значения в формулу первообразной: $$-2 = (1)^3 + (1)^2 - 3(1) + C$$ $$-2 = 1 + 1 - 3 + C$$ $$-2 = -1 + C$$ $$C = -2 + 1$$ $$C = -1$$ Итак, искомая первообразная: **Ответ:** $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$ 3. Вычислить: 1) $\int_1^2 3x^3 dx$ $$ = 3 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^2 = 3 \left( \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) = 3 \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 3 \left( \frac{15}{4} \right) = \frac{45}{4} = 11.25$$ 2) $\int_2^4 \frac{dx}{x^2}$ $$ = \int_2^4 x^{-2} dx = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_2^4 = \left[ -\frac{1}{x} \right]_2^4 = \left( -\frac{1}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4} = 0.25$$ 3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ $$ = \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$$ 4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx$ $$ = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{1}{2} \left( \cos(2\pi) - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \right)$$ $$ = -\frac{1}{2} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = -\frac{1}{2} (1 - (-1)) = -\frac{1}{2} (1 + 1) = -\frac{1}{2} (2) = -1$$ 4. Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox$. Сначала найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$ ($y=0$): $$x^2 + x - 6 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Площадь $S$ будет вычисляться как определенный интеграл от $-3$ до $2$. Поскольку парабола $y = x^2 + x - 6$ открывается вверх и между корнями $-3$ и $2$ значения $y$ отрицательны, то для нахождения площади нужно взять абсолютное значение интеграла или знак "-" перед интегралом: $$S = \left| \int_{-3}^2 (x^2 + x - 6) dx \right|$$ $$S = \left| \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-3}^2 \right|$$ $$S = \left| \left( \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6(2) \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6(-3) \right) \right|$$ $$S = \left| \left( \frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12 \right) - \left( \frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18 \right) \right|$$ $$S = \left| \left( \frac{8}{3} + 2 - 12 \right) - \left( -9 + \frac{9}{2} + 18 \right) \right|$$ $$S = \left| \left( \frac{8}{3} - 10 \right) - \left( 9 + \frac{9}{2} \right) \right|$$ $$S = \left| \left( \frac{8}{3} - \frac{30}{3} \right) - \left( \frac{18}{2} + \frac{9}{2} \right) \right|$$ $$S = \left| -\frac{22}{3} - \frac{27}{2} \right|$$ $$S = \left| -\frac{44}{6} - \frac{81}{6} \right|$$ $$S = \left| -\frac{125}{6} \right| = \frac{125}{6}$$ **Ответ:** $S = \frac{125}{6}$ или $20 \frac{5}{6}$ квадратных единиц. 2) графиками функций $y = x^2 + 1$ и $y = 10$. Сначала найдем точки пересечения этих функций: $$x^2 + 1 = 10$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ Значит, пределы интегрирования от $-3$ до $3$. График функции $y=10$ находится выше графика функции $y=x^2+1$ на интервале $[-3, 3]$. Площадь $S$ будет вычисляться как интеграл от разности верхней функции и нижней функции: $$S = \int_{-3}^3 (10 - (x^2 + 1)) dx$$ $$S = \int_{-3}^3 (10 - x^2 - 1) dx$$ $$S = \int_{-3}^3 (9 - x^2) dx$$ $$S = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^3$$ $$S = \left( 9(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} \right)$$ $$S = \left( 27 - \frac{27}{3} \right) - \left( -27 - \frac{-27}{3} \right)$$ $$S = (27 - 9) - (-27 - (-9))$$ $$S = 18 - (-27 + 9)$$ $$S = 18 - (-18)$$ $$S = 18 + 18$$ $$S = 36$$ **Ответ:** $S = 36$ квадратных единиц.