Найди общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{2}{7}$

1. Найдите общий вид первообразных для функции $f(x)$: a) $f(x) = \frac{2}{7}$ Первообразная функции $f(x) = k$ (где $k$ - константа) равна $F(x) = kx + C$. В нашем случае $k = \frac{2}{7}$. $$F(x) = \frac{2}{7}x + C$$ **Ответ: $F(x) = \frac{2}{7}x + C$** б) $f(x) = \cos 4x$ Первообразная функции $f(x) = \cos(ax+b)$ равна $F(x) = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C$. В нашем случае $a = 4$, $b = 0$. $$F(x) = \frac{1}{4}\sin 4x + C$$ **Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin 4x + C$** 2. Найдите первообразную для функции $f(x) = 6x^2 + 1$, график которой проходит через точку $M(1; -4)$. Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 6x^2 + 1$. $$F(x) = \int (6x^2 + 1) dx = 6\int x^2 dx + \int 1 dx = 6\frac{x^{2+1}}{2+1} + x + C = 6\frac{x^3}{3} + x + C = 2x^3 + x + C$$ Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; -4)$. Это значит, что при $x=1$ значение $F(x)$ равно $-4$. Подставим эти значения в найденную первообразную: $$-4 = 2(1)^3 + 1 + C$$ $$-4 = 2 + 1 + C$$ $$-4 = 3 + C$$ $$C = -4 - 3$$ $$C = -7$$ Таким образом, искомая первообразная: $$F(x) = 2x^3 + x - 7$$ **Ответ: $F(x) = 2x^3 + x - 7$** 3. Вычислите интеграл: а) $\int_{2}^{3} (x^2 + 2x + 3) dx$ Сначала найдем неопределенный интеграл: $$\int (x^2 + 2x + 3) dx = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + 3x + C = \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + C$$ Теперь используем формулу Ньютона-Лейбница: $$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$ $$F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$$ $$F(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) = \frac{27}{3} + 9 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$$ $$F(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 + 3(2) = \frac{8}{3} + 4 + 6 = \frac{8}{3} + 10 = \frac{8}{3} + \frac{30}{3} = \frac{38}{3}$$ $$\int_{2}^{3} (x^2 + 2x + 3) dx = F(3) - F(2) = 27 - \frac{38}{3} = \frac{81}{3} - \frac{38}{3} = \frac{43}{3}$$ **Ответ: $\frac{43}{3}$** б) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx$ Сначала найдем первообразную для $\sin x$, это $-\cos x$. $$\int_{0}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi}$$ $$= (-\cos \pi) - (-\cos 0)$$ $$= (-(-1)) - (-(1))$$ $$= 1 - (-1)$$ $$= 1 + 1$$ $$= 2$$ **Ответ: 2** 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -12x - 3x^2$ и $y = -6x$. Сначала найдем точки пересечения этих функций, приравняв их: $$-12x - 3x^2 = -6x$$ $$-3x^2 - 12x + 6x = 0$$ $$-3x^2 - 6x = 0$$ Вынесем $-3x$ за скобки: $$-3x(x + 2) = 0$$ Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Теперь определим, какая функция находится выше на интервале $[-2, 0]$. Возьмем пробную точку $x = -1$ (между $-2$ и $0$): Для $y = -12x - 3x^2$: $y(-1) = -12(-1) - 3(-1)^2 = 12 - 3(1) = 12 - 3 = 9$ Для $y = -6x$: $y(-1) = -6(-1) = 6$ Так как $9 > 6$, функция $y = -12x - 3x^2$ находится выше функции $y = -6x$ на интервале $[-2, 0]$. Площадь $S$ будет вычисляться как интеграл разности верхней функции и нижней функции от $x_1$ до $x_2$: $$S = \int_{-2}^{0} ((-12x - 3x^2) - (-6x)) dx$$ $$S = \int_{-2}^{0} (-12x - 3x^2 + 6x) dx$$ $$S = \int_{-2}^{0} (-3x^2 - 6x) dx$$ Найдем неопределенный интеграл: $$\int (-3x^2 - 6x) dx = -3\frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + C = -x^3 - 3x^2 + C$$ Теперь вычислим определенный интеграл: $$S = [-x^3 - 3x^2]_{-2}^{0}$$ $$S = (-(0)^3 - 3(0)^2) - (-(-2)^3 - 3(-2)^2)$$ $$S = (0 - 0) - (-(-8) - 3(4))$$ $$S = 0 - (8 - 12)$$ $$S = 0 - (-4)$$ $$S = 4$$ **Ответ: 4** 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$ и $y = \sqrt{x}$. Сначала найдем точки пересечения этих функций, приравняв их: $$x^3 = \sqrt{x}$$ Возведем обе части в квадрат (при условии $x \ge 0$, так как у нас $\sqrt{x}$): $$(x^3)^2 = (\sqrt{x})^2$$ $$x^6 = x$$ $$x^6 - x = 0$$ $$x(x^5 - 1) = 0$$ Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ $x^5 - 1 = 0 \Rightarrow x^5 = 1 \Rightarrow x_2 = 1$ Интервал интегрирования $[0, 1]$. Теперь определим, какая функция находится выше на интервале $[0, 1]$. Возьмем пробную точку $x = 0.5$ (между $0$ и $1$): Для $y = x^3$: $y(0.5) = (0.5)^3 = 0.125$ Для $y = \sqrt{x}$: $y(0.5) = \sqrt{0.5} \approx 0.707$ Так как $0.707 > 0.125$, функция $y = \sqrt{x}$ находится выше функции $y = x^3$ на интервале $[0, 1]$. Площадь $S$ будет вычисляться как интеграл разности верхней функции и нижней функции от $x_1$ до $x_2$: $$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^3) dx$$ $$S = \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x^3) dx$$ Найдем неопределенный интеграл: $$\int (x^{\frac{1}{2}} - x^3) dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^4}{4} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^4}{4} + C$$ Теперь вычислим определенный интеграл: $$S = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1}$$ $$S = (\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - \frac{(1)^4}{4}) - (\frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}} - \frac{(0)^4}{4})$$ $$S = (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{4}) - (0 - 0)$$ $$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$$ Приведем к общему знаменателю (12): $$S = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$ **Ответ: $\frac{5}{12}$**