Постройте график заданной функции y = 2x - 3, найдите область определения и область значений функции.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Здесь нужно построить графики, найти область определения (все возможные значения $x$) и область значений (все возможные значения $y$) для разных функций. Я всё объясню по порядку. ### 1.7 Линейные функции График линейной функции — это всегда прямая линия. Для её построения достаточно найти две любые точки. **а) $y = 2x - 3$** * **График:** Прямая линия. Найдём две точки: * Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$. * Если $x=2$, то $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Точка $(2, 1)$. Проведи прямую через эти две точки. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как в выражение можно подставить любой $x$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$, так как $y$ тоже может быть любым числом. **б) $y = 6 - 3x$** * **График:** Прямая линия. Точки: $(0, 6)$ и $(2, 0)$. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. **в) $y = \frac{x}{2} + 4$** * **График:** Прямая линия. Точки: $(0, 4)$ и $(2, 5)$. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. **г) $y = -\frac{2x}{3} - 3$** * **График:** Прямая линия. Точки: $(0, -3)$ и $(3, -5)$. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. ### 1.8 Квадратичные функции (простейшие) График квадратичной функции — это парабола. Её положение зависит от знаков и коэффициентов. **а) $y = x^2 + 2$** * **График:** Это парабола $y=x^2$, смещённая на 2 единицы вверх по оси Y. Вершина находится в точке $(0, 2)$, ветви направлены вверх. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = [2; +\infty)$, так как самая низкая точка графика имеет координату $y=2$. **б) $y = 3 - 2x^2$** * **График:** Парабола, ветви которой направлены вниз (из-за знака "-" перед $2x^2$). Вершина находится в точке $(0, 3)$. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 3]$, так как самая высокая точка — это $y=3$. **в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4$** * **График:** Парабола, ветви направлены вверх. Вершина в точке $(0, -4)$. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = [-4; +\infty)$. **г) $y = -1,5x^2 - 2$** * **График:** Парабола, ветви направлены вниз. Вершина в точке $(0, -2)$. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; -2]$. ### 1.9 Функции с квадратным корнем График такой функции — это ветвь параболы. **а) $y = \sqrt{x}$** * **График:** Ветвь параболы, выходящая из точки $(0, 0)$ и идущая вправо и вверх. * **Область определения:** $D(y) = [0; +\infty)$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. * **Область значений:** $E(y) = [0; +\infty)$, так как арифметический корень всегда неотрицателен. **б) $y = \sqrt{x - 3}$** * **График:** Такой же, как у $y=\sqrt{x}$, но смещённый на 3 единицы вправо. Начинается в точке $(3, 0)$. * **Область определения:** $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. Итак, $D(y) = [3; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = [0; +\infty)$. **в) $y = -\sqrt{x}$** * **График:** Симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси X. Ветвь параболы из точки $(0, 0)$ идёт вправо и вниз. * **Область определения:** $D(y) = [0; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 0]$. **г) $y = -\sqrt{x} + 2$** * **График:** График $y = -\sqrt{x}$, смещённый на 2 единицы вверх. Начинается в точке $(0, 2)$ и идёт вправо и вниз. * **Область определения:** $D(y) = [0; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 2]$. ### 1.10 Квадратичные функции (общий вид) Чтобы построить параболу $y = ax^2+bx+c$, нужно найти её вершину. **а) $y = x^2 + 3x - 28$** * **График:** Парабола, ветви вверх. Координаты вершины $(x_0, y_0)$: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1,5$. $y_0 = (-1,5)^2 + 3(-1,5) - 28 = 2,25 - 4,5 - 28 = -30,25$. Вершина в точке $(-1,5; -30,25)$. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = [-30,25; +\infty)$. **б) $y = -x^2 - 2x + 24$** * **График:** Парабола, ветви вниз. Найдём вершину: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$. $y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 24 = -1 + 2 + 24 = 25$. Вершина в точке $(-1, 25)$. * **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 25]$. ### 1.11 Дробно-рациональные функции График такой функции — гипербола. У неё есть асимптоты — прямые, к которым график приближается, но не пересекает. **а) $y = \frac{1}{x} + 3$** * **График:** Гипербола $y=\frac{1}{x}$, смещённая на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=3$. * **Область определения:** $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. * **Область значений:** $y \neq 3$. $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. **б) $y = \frac{5}{x+3}$** * **График:** Гипербола $y=\frac{5}{x}$, смещённая на 3 единицы влево. Вертикальная асимптота: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. * **Область определения:** $x \neq -3$. $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. * **Область значений:** $y \neq 0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. **в) $y = \frac{-2}{x} - 1$** * **График:** Гипербола $y=\frac{-2}{x}$, смещённая на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=-1$. * **Область определения:** $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. * **Область значений:** $y \neq -1$. $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. **г) $y = \frac{4}{1-x}$** * **График:** Можно переписать как $y = -\frac{4}{x-1}$. Это гипербола $y=-\frac{4}{x}$, смещённая на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота: $1-x=0 \Rightarrow x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. * **Область определения:** $x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. * **Область значений:** $y \neq 0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Надеюсь, это поможет тебе разобраться! Если что-то непонятно, спрашивай.