1. Построить схематически график функции: 1) $y = (\frac{1}{5})^x$

1. Построить схематически график функции: 1) $y = (\frac{1}{5})^x$ :::div .chart-container @chart-1::: 2) $y = 5^x$ :::div .chart-container @chart-2::: 2. Сравнить числа: 1) $(\frac{1}{5})^{0,2}$ и $(\frac{1}{5})^{1,2}$ Основание степени $a = \frac{1}{5}$ находится в диапазоне $0 < a < 1$. Для таких показательных функций: если показатель степени больше, то значение функции меньше. Так как $0,2 < 1,2$, то $(\frac{1}{5})^{0,2} > (\frac{1}{5})^{1,2}$. 2) $5^{-0,2}$ и $5^{-1,2}$ Основание степени $a = 5$ находится в диапазоне $a > 1$. Для таких показательных функций: если показатель степени больше, то значение функции больше. Так как $-0,2 > -1,2$, то $5^{-0,2} > 5^{-1,2}$. 3. Решить уравнение: 1) $3^{x+1} = 27^{x-1}$ Представим $27$ как степень числа $3$: $27 = 3^3$. $3^{x+1} = (3^3)^{x-1}$ $3^{x+1} = 3^{3(x-1)}$ $3^{x+1} = 3^{3x-3}$ Приравниваем показатели: $x+1 = 3x-3$ $1+3 = 3x-x$ $4 = 2x$ $x = 2$ **Ответ:** $x = 2$ 2) $0,2^{x^2+4x-5} = 1$ Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1. Значит, показатель степени должен быть равен 0. $x^2+4x-5 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ **Ответ:** $x_1 = 1$, $x_2 = -5$ 3) $2^{x+3} - 2^{x+1} = 12$ Вынесем $2^{x+1}$ за скобки: $2^{x+1}(2^2 - 1) = 12$ $2^{x+1}(4 - 1) = 12$ $2^{x+1} \cdot 3 = 12$ Разделим обе части на 3: $2^{x+1} = 4$ Представим $4$ как степень числа $2$: $4 = 2^2$. $2^{x+1} = 2^2$ Приравниваем показатели: $x+1 = 2$ $x = 2 - 1$ $x = 1$ **Ответ:** $x = 1$ 4) $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0$ Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Тогда уравнение примет вид: $4t^2 - 5t + 1 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$ $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$ $t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ Теперь вернемся к замене $t = 2^x$: Для $t_1 = 1$: $2^x = 1$ $2^x = 2^0$ $x = 0$ Для $t_2 = \frac{1}{4}$: $2^x = \frac{1}{4}$ $2^x = 2^{-2}$ $x = -2$ **Ответ:** $x_1 = 0$, $x_2 = -2$ 4. Решить неравенство: 1) $7^{x-2} > 49$ Представим $49$ как степень числа $7$: $49 = 7^2$. $7^{x-2} > 7^2$ Основание степени $a = 7 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется при сравнении показателей. $x-2 > 2$ $x > 2+2$ $x > 4$ **Ответ:** $x \in (4; +\infty)$ 2) $0,5^{x^2-2} \ge \frac{1}{4}$ Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$ как $(\frac{1}{2})^2$. $(\frac{1}{2})^{x^2-2} \ge (\frac{1}{2})^2$ Основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в диапазоне $0 < a < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный при сравнении показателей. $x^2-2 \le 2$ $x^2-2-2 \le 0$ $x^2-4 \le 0$ Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(x-2)(x+2) \le 0$ Найдем корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$: $x=2$ и $x=-2$. На числовой прямой это парабола, ветви которой направлены вверх, и она пересекает ось X в точках -2 и 2. Неравенство $x^2-4 \le 0$ выполняется, когда график находится ниже или на оси X. Таким образом, $x$ находится в интервале $[-2; 2]$. **Ответ:** $x \in [-2; 2]$