Функция задана формулой $y = -x^2 + 3$. Какова область определения этой функции?

**Задание 823:** Функция задана формулой $y = -x^2 + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, потому что коэффициент при $x^2$ отрицательный. 1. **Какова область определения этой функции?** Поскольку $x$ может быть любым числом, область определения функции — все действительные числа. *Область определения:* $(-\infty; +\infty)$. 2. **Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно -1; 1; 5?** Чтобы найти такие значения, нужно подставить каждое число вместо $y$ в формулу и решить уравнение относительно $x$. *Случай $y = -1$:* $$-1 = -x^2 + 3$$ $$-x^2 = -1 - 3$$ $$-x^2 = -4$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$ При $y = -1$ есть два значения аргумента: $x = 2$ и $x = -2$. *Случай $y = 1$:* $$1 = -x^2 + 3$$ $$-x^2 = 1 - 3$$ $$-x^2 = -2$$ $$x^2 = 2$$ $$x = \pm \sqrt{2}$$ При $y = 1$ есть два значения аргумента: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$. *Случай $y = 5$:* $$5 = -x^2 + 3$$ $$-x^2 = 5 - 3$$ $$-x^2 = 2$$ $$x^2 = -2$$ Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому для $y = 5$ нет действительных значений аргумента. 3. **Постройте график этой функции и укажите множество её значений.** Это парабола $y = -x^2 + 3$. Её вершина находится в точке $(0; 3)$. Ветви направлены вниз. Построим несколько точек: * Если $x = 0$, $y = -(0)^2 + 3 = 3$ * Если $x = 1$, $y = -(1)^2 + 3 = 2$ * Если $x = -1$, $y = -(-1)^2 + 3 = 2$ * Если $x = 2$, $y = -(2)^2 + 3 = -1$ * Если $x = -2$, $y = -(-2)^2 + 3 = -1$ Множество значений (область значений) — это все значения $y$, которые может принимать функция. Так как вершина параболы в $(0; 3)$ и ветви направлены вниз, наибольшее значение функции равно 3. *Множество значений:* $(-\infty; 3]$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** 1. **Область определения:** $(-\infty; +\infty)$. 2. При $y = -1$, $x = \pm 2$. При $y = 1$, $x = \pm \sqrt{2}$. При $y = 5$, таких значений аргумента нет. 3. **Множество значений:** $(-\infty; 3]$. **Задание 824:** Функция задана формулой $y = -0,5x^2 + x + 1,5$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-0,5$ (отрицательный). 1. **При каких значениях $x$ значение $y$ равно нулю; больше нуля; меньше нуля?** * **$y = 0$ (равно нулю):** $$-0,5x^2 + x + 1,5 = 0$$ $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ (умножили на $-2$, чтобы было удобнее) По теореме Виета или через дискриминант найдем корни: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ **Значение $y$ равно нулю при $x = -1$ и $x = 3$.** * **$y > 0$ (больше нуля):** Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция больше нуля между корнями. **Значение $y$ больше нуля при $x \in (-1; 3)$.** * **$y < 0$ (меньше нуля):** Функция меньше нуля вне корней. **Значение $y$ меньше нуля при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.** 2. **На каком промежутке эта функция возрастает и на каком промежутке убывает?** Найдём координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$. $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{1}{-1} = 1$$ Так как ветви параболы направлены вниз ($a = -0,5 < 0$), функция возрастает до вершины и убывает после неё. **Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.** **Функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.** 3. **Каково наибольшее значение этой функции?** Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы. $$y_в = -0,5 \cdot (1)^2 + 1 + 1,5 = -0,5 + 1 + 1,5 = 2$$ **Наибольшее значение функции равно 2.** :::div .chart-container @chart-2::: **Ответ:** 1. $y = 0$ при $x = -1$ и $x = 3$. $y > 0$ при $x \in (-1; 3)$. $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$. 2. Функция возрастает на $(-\infty; 1]$. Функция убывает на $[1; +\infty)$. 3. Наибольшее значение функции: $y_{max} = 2$.