1. Вычислить: 1) log3(1/27); 2) (1/3)^(2log1/3(7)); 3) log2(56) + 2log2(12) - log2(63)

1. **Вычислить:** 1) **Ответ: -3** $$ \log_{3} \frac{1}{27} = \log_{3} 3^{-3} = -3 $$ 2) **Ответ: 49** $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{2 \log_{\frac{1}{3}} 7} = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 7}\right)^2 = 7^2 = 49 $$ 3) **Ответ: 7** $$ \log_{2} 56 + 2\log_{2} 12 - \log_{2} 63 = \log_{2} 56 + \log_{2} 12^2 - \log_{2} 63 = \log_{2} \frac{56 \cdot 144}{63} = \log_{2} \frac{8 \cdot 144}{9} = \log_{2} (8 \cdot 16) = \log_{2} 128 = 7 $$ 2. **В одной системе координат схематически построить графики функций $y = \log_{4} x$ и $y = 4^x$.** :::div .chart-container @chart-1::: 3. **Сравнить числа $\log_{0,9} 1 \frac{1}{2}$ и $\log_{0,9} 1 \frac{1}{3}$.** **Ответ: $\log_{0,9} 1 \frac{1}{2} < \log_{0,9} 1 \frac{1}{3}$** Так как основание логарифма $0 < 0,9 < 1$, то функция $y = \log_{0,9} x$ убывающая. Сравним аргументы: $1 \frac{1}{2} = 1,5$ и $1 \frac{1}{3} \approx 1,33$. Так как $1,5 > 1,33$, то $\log_{0,9} 1,5 < \log_{0,9} 1,33$. 4. **Решить уравнение $\log_{4}(2x + 3) = 3$.** **Ответ: 30,5** По определению логарифма: $$ 2x + 3 = 4^3 $$ $$ 2x + 3 = 64 $$ $$ 2x = 61 $$ $$ x = 30,5 $$ Проверка: $2 \cdot 30,5 + 3 = 64 > 0$ (верно). 5. **Решить неравенство $\log_{5}(x - 3) < 2$.** **Ответ: $(3; 28)$** Учитываем область допустимых значений (ОДЗ) и то, что основание $5 > 1$ (знак не меняется): $$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 3 < 5^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x < 25 + 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x < 28 \end{cases} $$ 6. **Решить уравнение $\log_{3}(x - 8) + \log_{3} x = 2$.** **Ответ: 9** ОДЗ: $x - 8 > 0 \Rightarrow x > 8$. $$ \log_{3}(x(x - 8)) = 2 $$ $$ x^2 - 8x = 3^2 $$ $$ x^2 - 8x - 9 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 9$, $x_2 = -1$. Корень $x = -1$ не подходит по ОДЗ. 7. **Решить уравнение $\log_{\sqrt{3}} x + \log_{9} x = 10$.** **Ответ: 81** Приведем к основанию 3: $$ \log_{3^{1/2}} x + \log_{3^2} x = 10 $$ $$ 2\log_{3} x + \frac{1}{2}\log_{3} x = 10 $$ $$ 2,5\log_{3} x = 10 $$ $$ \log_{3} x = 4 $$ $$ x = 3^4 = 81 $$ 8. **Решить неравенство $\log_{2}^2 x - 3\log_{2} x \le 4$.** **Ответ: $[0,5; 16]$** Пусть $t = \log_{2} x$. ОДЗ: $x > 0$. $$ t^2 - 3t - 4 \le 0 $$ Корни уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$: $t_1 = 4, t_2 = -1$. Решение неравенства для $t$: $-1 \le t \le 4$. Обратная замена: $$ -1 \le \log_{2} x \le 4 $$ $$ 2^{-1} \le x \le 2^4 $$ $$ 0,5 \le x \le 16 $$