Решите логарифмические неравенства: 7) log1/2(x+7) > -3; 9) log2(x^2+x+2) > 3; 11) log2(x^2-4x+3) > 3; 13) lg(2x-3) <= lg(3x-5); 15) lg(2x-3) >= lg(3x-4).

**Ответ: 7) x \in (-7; 1); 9) x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty); 11) x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty); 13) x \in [2; +\infty); 15) x \in (1,5; 1]. Решений нет.** Решение логарифмических неравенств: **7. $\log_{\frac{1}{2}}(x + 7) > -3$** 1. ОДЗ: $x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7$. 2. Т.к. основание $\frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется: $x + 7 < (\frac{1}{2})^{-3}$. 3. $(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$. 4. $x + 7 < 8 \Rightarrow x < 1$. 5. С учетом ОДЗ: $-7 < x < 1$. **9. $\log_{2}(x^2 + x + 2) > 3$** 1. ОДЗ: $x^2 + x + 2 > 0$ (дискриминант $D = 1 - 8 = -7 < 0$, ветви вверх, верно всегда). 2. Т.к. $2 > 1$: $x^2 + x + 2 > 2^3 \Rightarrow x^2 + x + 2 > 8$. 3. $x^2 + x - 6 > 0$. 4. Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$: $x_1 = -3, x_2 = 2$. 5. Решение: $x < -3$ или $x > 2$. **11. $\log_{2}(x^2 - 4x + 3) > 3$** 1. ОДЗ: $x^2 - 4x + 3 > 0$. 2. $x^2 - 4x + 3 > 2^3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 > 8$. 3. $x^2 - 4x - 5 > 0$. 4. Корни: $x_1 = -1, x_2 = 5$. 5. Решение: $x < -1$ или $x > 5$ (автоматически входит в ОДЗ). **13. $\lg(2x - 3) \le \lg(3x - 5)$** 1. ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 3x - 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1,5 \\ x > 1,66... \end{cases} \Rightarrow x > \frac{5}{3}$. 2. Т.к. основание $10 > 1$: $2x - 3 \le 3x - 5$. 3. $-x \le -2 \Rightarrow x \ge 2$. 4. С учетом ОДЗ: $x \ge 2$. **15. $\lg(2x - 3) \ge \lg(3x - 4)$** 1. ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1,5 \\ x > 1,33... \end{cases} \Rightarrow x > 1,5$. 2. $2x - 3 \ge 3x - 4 \Rightarrow -x \ge -1 \Rightarrow x \le 1$. 3. Проверка: значения $x \le 1$ не входят в ОДЗ ($x > 1,5$). 4. Решений нет.