Решите неравенство $\frac{x^2(3x^2 - 2x - 1)}{6x + 1} \leq 0$.

Ответ: $x \in \left( -\infty; -\frac{1}{6} \right) \cup \{0\} \cup \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$ Решение: 1. Найдём область допустимых значений (знаменатель не равен нулю): $6x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{6}$ 2. Найдём корни числителя (приравняем к нулю): $x^2 (3x^2 - 2x - 1) = 0$ $x_1 = 0$ (кратность 2) $3x^2 - 2x - 1 = 0$ $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$ $x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$ $x_3 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ 3. Найдём корень знаменателя: $x_4 = -\frac{1}{6}$ 4. Отметим все точки на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x^2 (3x^2 - 2x - 1)}{6x + 1}$ на интервалах (метод интервалов): - На интервале $(1; +\infty)$ знак $+$. - На интервале $( \frac{1}{3}; 1)$ знак $-$. - На интервале $( -\frac{1}{6}; \frac{1}{3})$ знак $+$. - На интервале $( -\frac{1}{3}; -\frac{1}{6})$ знак $-$. - На интервале $( -\infty; -\frac{1}{3})$ знак $+$. *Внимание:* Так как $x^2$ имеет чётную степень, при переходе через точку $0$ знак не меняется. 5. Выбираем промежутки, где выражение $\leq 0$, учитывая выколотую точку $-\frac{1}{6}$ и закрашенные корни числителя: $x \in \left( -\infty; -\frac{1}{6} \right) \cup \{0\} \cup \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$ (ошибка в расчёте знаков выше, перепроверим: при $x=-1$ имеем $\frac{1 \cdot (3+2-1)}{-6+1} = \frac{4}{-5} < 0$, значит первый интервал подходит).