Решите неравенство: $\frac{x^3 + 2x^2 + x}{16 - 9x^2} \le 0$

Нам нужно решить неравенство: $$\frac{x^3 + 2x^2 + x}{16 - 9x^2} \le 0$$ Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1) = x(x+1)^2$. Знаменатель: $16 - 9x^2 = (4 - 3x)(4 + 3x)$. Теперь неравенство выглядит так: $$\frac{x(x+1)^2}{(4 - 3x)(4 + 3x)} \le 0$$ Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x = 0$ $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ (корень кратности 2) Нули знаменателя: $4 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ $4 + 3x = 0 \Rightarrow 3x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$ Отметим эти точки на числовой прямой, учитывая, что в нулях знаменателя функция не определена (выколотые точки): $-\frac{4}{3}$, $-1$, $0$, $\frac{4}{3}$. Расставим знаки на интервалах. Так как $(x+1)^2 \ge 0$, то знак неравенства будет зависеть от знака $x$ и $(4-3x)(4+3x)$. 1. Интервал $(-\infty; -\frac{4}{3})$: возьмем $x = -2$. $(-2)(-2+1)^2 / (4 - 3(-2))(4 + 3(-2)) = (-2)(1) / (4+6)(4-6) = -2 / (10)(-2) = -2 / -20 = 1/10 > 0$. Здесь $(x+1)^2$ положительно, $x$ отрицательно, $(4-3x)$ положительно, $(4+3x)$ отрицательно. Общий знак: $(-)/(+)(-) = -/- = +$. 2. Интервал $(-\frac{4}{3}; -1)$: возьмем $x = -1.2$. $(-1.2)(-1.2+1)^2 / (4 - 3(-1.2))(4 + 3(-1.2)) = (-1.2)(-0.2)^2 / (4+3.6)(4-3.6) = (-1.2)(0.04) / (7.6)(0.4)$. Здесь $(x+1)^2$ положительно, $x$ отрицательно, $(4-3x)$ положительно, $(4+3x)$ положительно. Общий знак: $(-)/(+)(+) = -$. 3. В точке $x = -1$ числитель равен 0, поэтому неравенство выполняется. 4. Интервал $(-1; 0)$: возьмем $x = -0.5$. $(-0.5)(-0.5+1)^2 / (4 - 3(-0.5))(4 + 3(-0.5)) = (-0.5)(0.5)^2 / (4+1.5)(4-1.5) = (-0.5)(0.25) / (5.5)(2.5)$. Здесь $(x+1)^2$ положительно, $x$ отрицательно, $(4-3x)$ положительно, $(4+3x)$ положительно. Общий знак: $(-)/(+)(+) = -$. 5. В точке $x = 0$ числитель равен 0, поэтому неравенство выполняется. 6. Интервал $(0; \frac{4}{3})$: возьмем $x = 1$. $(1)(1+1)^2 / (4 - 3(1))(4 + 3(1)) = (1)(2)^2 / (4-3)(4+3) = 4 / (1)(7) = 4/7 > 0$. Здесь $(x+1)^2$ положительно, $x$ положительно, $(4-3x)$ положительно, $(4+3x)$ положительно. Общий знак: $(+)/(+)(+) = +$. 7. Интервал $(\frac{4}{3}; \infty)$: возьмем $x = 2$. $(2)(2+1)^2 / (4 - 3(2))(4 + 3(2)) = (2)(3)^2 / (4-6)(4+6) = 18 / (-2)(10) = 18 / -20 = -9/10 < 0$. Здесь $(x+1)^2$ положительно, $x$ положительно, $(4-3x)$ отрицательно, $(4+3x)$ положительно. Общий знак: $(+)/(-)(+) = -$. Итак, неравенство $\le 0$ выполняется на интервалах $(-\frac{4}{3}; -1]$, $[-1; 0]$ и $(\frac{4}{3}; \infty)$. Объединяем интервалы: $(-\frac{4}{3}; 0]$ и $(\frac{4}{3}; \infty)$. **Ответ:** $x \in (-\frac{4}{3}; 0] \cup (\frac{4}{3}; \infty)$