Решить неравенство $\frac{x^2 - 5x + 6}{1 - x} < 0$.

Для решения неравенства $\frac{x^2 - 5x + 6}{1 - x} < 0$ будем использовать метод интервалов. Сначала найдём корни числителя и знаменателя. Корни числителя: $x^2 - 5x + 6 = 0$ Применяем формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. Тогда корни $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$. $x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ Корни знаменателя: $1 - x = 0$ $x = 1$ Теперь представим неравенство в виде, чтобы коэффициент при $x$ в знаменателе был положительным, умножив числитель и знаменатель на $-1$ и изменив знак неравенства: $\frac{-(x^2 - 5x + 6)}{-(1 - x)} > 0 \implies \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} > 0$ Разложим числитель на множители: $(x - 2)(x - 3)$. Неравенство примет вид: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 1} > 0$ Отметим найденные корни на числовой прямой: $1, 2, 3$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$. Выберем контрольные точки в каждом интервале и определим знак выражения: 1. Интервал $(-\infty; 1)$: Выберем $x = 0$. $\frac{(0 - 2)(0 - 3)}{0 - 1} = \frac{(-2)(-3)}{-1} = \frac{6}{-1} = -6$. Знак "-". 2. Интервал $(1; 2)$: Выберем $x = 1.5$. $\frac{(1.5 - 2)(1.5 - 3)}{1.5 - 1} = \frac{(-0.5)(-1.5)}{0.5} = \frac{0.75}{0.5} = 1.5$. Знак "+". 3. Интервал $(2; 3)$: Выберем $x = 2.5$. $\frac{(2.5 - 2)(2.5 - 3)}{2.5 - 1} = \frac{(0.5)(-0.5)}{1.5} = \frac{-0.25}{1.5} = -\frac{1}{6}$. Знак "-". 4. Интервал $(3; +\infty)$: Выберем $x = 4$. $\frac{(4 - 2)(4 - 3)}{4 - 1} = \frac{(2)(1)}{3} = \frac{2}{3}$. Знак "+". Нам нужно найти интервалы, где выражение больше 0. Это интервалы, где знак "+". **Ответ:** $(1; 2) \cup (3; +\infty)$