Решите неравенство \frac{-14}{x^2 + 2x - 15} \le 0

**Ответ: $x \in (-5; 3)$** **Решение:** Дано неравенство: $$\frac{-14}{x^2 + 2x - 15} \le 0$$ 1. Проанализируем знак числителя. Числитель равен $-14$, это отрицательное число ($-14 < 0$). 2. Чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, знаменатель должен быть положительным. Так как числитель никогда не равен нулю, дробь не может быть равна нулю, поэтому рассматриваем только строгое неравенство для знаменателя: $$x^2 + 2x - 15 > 0$$ 3. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 15 = 0$ с помощью теоремы Виета или дискриминанта: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$$ $$x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$$ 4. Разложим знаменатель на множители: $$(x + 5)(x - 3) > 0$$ 5. Решим неравенство методом интервалов. На числовой прямой отметим выколотые точки $-5$ и $3$. Определим знаки на интервалах: - При $x > 3$: $(+)$ · $(+) = (+)$ — подходит. - При $-5 < x < 3$: $(+)$ · $(-) = (-)$ — не подходит. - При $x < -5$: $(-)$ · $(-) = (+)$ — подходит. **Допущение:** В исходном неравенстве $\frac{-14}{x^2+2x-15} \le 0$, так как числитель отрицательный, для выполнения условия «меньше или равно нулю» знаменатель обязан быть **положительным** ($+ \div - = -$ или $- \div + = -$). Однако, если мы ищем область, где дробь $\le 0$, и числитель уже $-14$, то нам нужно, чтобы знаменатель был больше $0$. Если знаменатель $x^2 + 2x - 15 > 0$, то это интервалы $(-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$. Но давай проверим логику еще раз: дробь $\frac{-}{?}$ должна быть $\le 0$. Это значит, что знаменатель «?» должен быть $> 0$. Следовательно, решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$.