Решите неравенство (x^3 - 5x^2) / ((x - 2)(x^2 + 7x + 30)) >= 0

**Ответ: $x \in \{0\} \cup (2; 5]$** **Решение:** 1. Рассмотрим числитель: $x^3 - 5x^2 = x^2(x - 5)$. Корни числителя: $x = 0$ (кратность 2) и $x = 5$. 2. Рассмотрим знаменатель: $(x - 2)(x^2 + 7x + 30)$. - Вычислим дискриминант квадратного трёхчлена $x^2 + 7x + 30$: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 49 - 120 = -71$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), выражение $x^2 + 7x + 30$ всегда больше нуля при любом $x$. - Корень знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (точка выколота, так как на ноль делить нельзя). 3. Перепишем неравенство с учётом упрощений: $\frac{x^2(x - 5)}{x - 2} \ge 0$ 4. Метод интервалов: Отметим на числовой прямой точки $0, 2, 5$. Точка $x=0$ — точка «петли» (знак не меняется, так как степень чётная). - При $x > 5$: знак «$+$». - При $2 < x < 5$: знак «$-$». - При $0 < x < 2$: знак «$+$» (знаменатель отрицателен, числитель отрицателен). - При $x < 0$: знак «$+$». Проверим знаки подстановкой: - $x = 6: \frac{36 \cdot 1}{4} > 0$ (верно) - $x = 3: \frac{9 \cdot (-2)}{1} < 0$ (неверно) - $x = 1: \frac{1 \cdot (-4)}{-1} = 4 > 0$ (верно) - $x = -1: \frac{1 \cdot (-6)}{-3} = 2 > 0$ (верно) - Точка $x = 0$: $0 \ge 0$ (верно) - Точка $x = 5$: $0 \ge 0$ (верно) - Точка $x = 2$: не входит в область определения. 5. Выбираем интервалы, где выражение $\ge 0$: $x \in (-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$ — ошибка в рассуждении знаков, перепроверим интервалы: $\frac{x^2(x-5)}{x-2} \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то при $x \ne 0$ знак зависит от $\frac{x-5}{x-2} \ge 0$. $\frac{x-5}{x-2} \ge 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$. Также учитываем точку $x = 0$ (числитель равен 0). **Дополнение:** В школьной программе при решении методом интервалов для дроби $\frac{x^2(x-5)}{x-2} \ge 0$: Критические точки: $0$ (закрашена), $2$ (выколота), $5$ (закрашена). Расстановка знаков: $(-\infty; 0] \to +$ $[0; 2) \to +$ $(2; 5] \to -$ $[5; +\infty) \to +$ Итоговое решение: $x \in (-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$.