Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке F, BF = 12, DF = 9, AB = 8. Найдите CD.

### Решение задачи 16 Дано: $ABCD$ — вписанный четырехугольник. Прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $F$. $BF = 12$, $DF = 9$, $AB = 8$. 1. Рассмотрим треугольники $\triangle FCD$ и $\triangle FBA$. 2. $\angle F$ — общий. 3. Угол $\angle FCD = \angle FBA$ (внешний угол вписанного четырехугольника равен внутреннему противолежащему). 4. Значит, $\triangle FCD \sim \triangle FBA$ по двум углам. 5. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{CD}{AB} = \frac{FD}{FB}$. 6. Подставим значения: $\frac{CD}{8} = \frac{9}{12}$. 7. Сократим дробь: $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. 8. $CD = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$. **Ответ: 6** ### Решение задачи 17 Дано: равнобедренная трапеция с основаниями 3 и 7, острый угол при основании $45^{\circ}$. 1. Проведем высоты $h$ из вершин меньшего основания к большему. Они делят большее основание на три части: $x$, $3$ (равно меньшему основанию), $x$. 2. $2x + 3 = 7 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. 3. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и отрезком $x=2$, угол равен $45^{\circ}$. Значит, треугольник равнобедренный, и высота $h = x = 2$. 4. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. 5. $S = \frac{3+7}{2} \cdot 2 = \frac{10}{2} \cdot 2 = 10$. **Ответ: 10**