Решите уравнение tg (6x - π) - sin 6x = 2 sin² 3x и укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-π/3; -π/6]

**Ответ:** а) $x = \frac{\pi k}{6}$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{4}$. **Решение:** а) Решим уравнение: $$\operatorname{tg}(6x - \pi) - \sin 6x = 2 \sin^2 3x$$ 1. Используем периодичность тангенса $\operatorname{tg}(\alpha - \pi) = \operatorname{tg}\alpha$ и формулу понижения степени $2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$: $$\operatorname{tg} 6x - \sin 6x = 1 - \cos 6x$$ 2. ОДЗ: $\cos 6x \neq 0$, откуда $6x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$. 3. Представим $\operatorname{tg} 6x$ как $\frac{\sin 6x}{\cos 6x}$: $$\frac{\sin 6x}{\cos 6x} - \sin 6x = 1 - \cos 6x$$ 4. Приведем к общему знаменателю в левой части: $$\frac{\sin 6x - \sin 6x \cos 6x}{\cos 6x} = 1 - \cos 6x$$ $$\frac{\sin 6x (1 - \cos 6x)}{\cos 6x} = 1 - \cos 6x$$ 5. Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $(1 - \cos 6x)$: $$(1 - \cos 6x) \cdot (\operatorname{tg} 6x - 1) = 0$$ 6. Получаем два случая: - $1 - \cos 6x = 0 \Rightarrow \cos 6x = 1 \Rightarrow 6x = 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$. - $\operatorname{tg} 6x - 1 = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} 6x = 1 \Rightarrow 6x = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$. б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}]$: - Для $x = \frac{\pi k}{3}$: при $k = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3}$ (входит). - Для $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{6}$: при $n = -2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} - \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi - 8\pi}{24} = -\frac{7\pi}{24}$ (входит). при $n = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi - 4\pi}{24} = -\frac{3\pi}{24} = -\frac{\pi}{8}$ (не входит).