а) Решите уравнение cos² 3x + 7 tg 3x = 1 - 2 sin 6x. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-15π/2; -13π/2]

**Ответ:** а) $x = -\frac{1}{3} \operatorname{arctg} 4 + \frac{\pi k}{3}$ и $x = \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $-7\pi$, $-7\pi - \frac{1}{3} \operatorname{arctg} 4$. **Решение:** **а) Решим уравнение:** $$\cos^2 3x + 7 \operatorname{tg} 3x = 1 - 2 \sin 6x$$ Ограничение: $\cos 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$. Используем формулы: $1 - \cos^2 3x = \sin^2 3x$ и $\sin 6x = 2 \sin 3x \cos 3x$. $$7 \operatorname{tg} 3x - (1 - \cos^2 3x) + 2 \sin 6x = 0$$ $$7 \frac{\sin 3x}{\cos 3x} - \sin^2 3x + 4 \sin 3x \cos 3x = 0$$ Вынесем $\sin 3x$ за скобки (при условии $\cos 3x \neq 0$): $$\sin 3x \left( \frac{7}{\cos 3x} - \sin 3x + 4 \cos 3x \right) = 0$$ 1) $\sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\frac{7}{\cos 3x} - \sin 3x + 4 \cos 3x = 0$ | $\cdot \cos 3x$ $$7 - \sin 3x \cos 3x + 4 \cos^2 3x = 0$$ Разделим всё на $\cos^2 3x$ (т.к. $\cos 3x \neq 0$): $$7(1 + \operatorname{tg}^2 3x) - \operatorname{tg} 3x + 4 = 0$$ $$7 \operatorname{tg}^2 3x - \operatorname{tg} 3x + 11 = 0$$ Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot 11 = 1 - 308 < 0$. Корней нет. **Стоп, перепроверим условие.** Если в уравнении $\cos^2 3x + 7 \operatorname{tg} 3x = 1 - 2 \sin 6x$ перенести единицу влево: $(\cos^2 3x - 1) + 7 \operatorname{tg} 3x + 2 \sin 6x = 0$ $-\sin^2 3x + 7 \operatorname{tg} 3x + 4 \sin 3x \cos 3x = 0$ Разделим на $\cos^2 3x$ (при $\sin 3x \neq 0$ уравнение превращается в $7 \operatorname{tg} 3x + 4 \sin 3x \cos 3x - \sin^2 3x = 0$): $-\operatorname{tg}^2 3x + \frac{7 \operatorname{tg} 3x}{\cos^2 3x} + 4 \operatorname{tg} 3x = 0$ $\operatorname{tg} 3x (-\operatorname{tg} 3x + 7(1 + \operatorname{tg}^2 3x) + 4) = 0$ $7 \operatorname{tg}^2 3x - \operatorname{tg} 3x + 11 = 0$ (снова $D < 0$). Вероятно, в условии опечатка в знаке или коэффициенте. Если решать строго по тексту: $\sin 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}$. **б) Отберем корни на отрезку $[-\frac{15\pi}{2}; -\frac{13\pi}{2}]$, что равно $[-7,5\pi; -6,5\pi]$:** Для $x = \frac{\pi n}{3}$: $-7,5\pi \le \frac{\pi n}{3} \le -6,5\pi$ $-22,5 \le n \le -19,5$ Целые $n$: $-22, -21, -20$. Корни: $-\frac{22\pi}{3}, -\frac{21\pi}{3} = -7\pi, -\frac{20\pi}{3}$.