а) Решите уравнение 3cos2x - 5sinx + 1 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

**Ответ:** а) $x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right)$ (или $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + 2\pi$). **Решение:** а) Решим уравнение $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. $3(1 - 2\sin^2 x) - 5\sin x + 1 = 0$ $3 - 6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$ $-6\sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0$ $6\sin^2 x + 5\sin x - 4 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. $6t^2 + 5t - 4 = 0$ $D = 25 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$ $t_1 = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = 0,5$ $t_2 = \frac{-5 - 11}{12} = -\frac{16}{12} = -\frac{4}{3}$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) Обратная замена: $\sin x = 0,5$ $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Допущение:** В тексте на картинке плохо видна цифра перед $\sin x$ и знак. Если уравнение $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$, то корни выше. Однако, при получении $t=0.5$ ответ простой. Проверим еще раз коэффициенты. Если уравнение $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$, то $6\sin^2 x + 5\sin x - 4 = 0$ дает $t=1/2$ и $t=-4/3$. Если в условии опечатка и должно быть $3\cos 2x + 5\sin x + 1 = 0$, то $t=-1/2$ и $t=4/3$. Если считать по написанному тексту: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$. б) Отберем корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$. Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=1, x = \frac{13\pi}{6} = 2\frac{1}{6}\pi$ — входит. Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=0, x = \frac{5\pi}{6}$ — не входит. при $n=1, x = \frac{17\pi}{6} > \frac{15\pi}{6}$ — не входит. **Ответ для $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$:** а) $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $\frac{13\pi}{6}$