Решите уравнение $\sqrt{3}\sin 2x + 3\cos 2x = 0$

а) Для решения уравнения $\sqrt{3}\sin 2x + 3\cos 2x = 0$ разделим обе части на $\cos 2x$. $$\frac{\sqrt{3}\sin 2x}{\cos 2x} + \frac{3\cos 2x}{\cos 2x} = 0$$ $$\sqrt{3}\tan 2x + 3 = 0$$ $$\sqrt{3}\tan 2x = -3$$ $$\tan 2x = -\frac{3}{\sqrt{3}}$$ $$\tan 2x = -\sqrt{3}$$ Теперь найдем значения $2x$: $$2x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Разделим на 2, чтобы найти $x$: $$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$** б) Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$. Для этого подставим различные значения $n$: Если $n=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$. Это не входит в отрезок. Если $n=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. Это не входит в отрезок. Если $n=2$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Это не входит в отрезок. Если $n=3$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{9\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$. Проверим: $\pi = \frac{3\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{3}$. Так как $\frac{3\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3} \le \frac{7.5\pi}{3}$, то $\frac{4\pi}{3}$ входит в отрезок. Если $n=4$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$. Проверим: $\pi = \frac{6\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}$. Так как $\frac{6\pi}{6} \le \frac{11\pi}{6} \le \frac{15\pi}{6}$, то $\frac{11\pi}{6}$ входит в отрезок. Если $n=5$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{15\pi}{6} = \frac{14\pi}{6} = \frac{7\pi}{3}$. Проверим: $\pi = \frac{3\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{3}$. Так как $\frac{3\pi}{3} \le \frac{7\pi}{3} \le \frac{7.5\pi}{3}$, то $\frac{7\pi}{3}$ входит в отрезок. Если $n=6$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$. Проверим: $\frac{17\pi}{6} \approx 2.83\pi$, а $\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi$. Так как $2.83\pi > 2.5\pi$, то $\frac{17\pi}{6}$ не входит в отрезок. Корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$: $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{11\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{3}$. **Ответ: $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{11\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{3}$**