Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.

Пусть $\angle M = 38^\circ$, $\angle K = 78^\circ$, $\angle P = 64^\circ$ — углы треугольника $MKP$, образованного точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника $ABC$. Окружность вписана в $\triangle ABC$. Обозначим вершины $\triangle ABC$ как $A, B, C$, где $M$ на $AB$, $K$ на $BC$, $P$ на $AC$. 1. Соединив точки касания, получим $\triangle MKP$ внутри $\triangle ABC$. Стороны $\triangle ABC$ касаются вписанной окружности. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Значит, $\triangle APM, \triangle BMK, \triangle C KP$ — равнобедренные треугольники с углами при основаниях, равными по свойствам касательных и вписанных углов. 2. Угол $\angle A$ треугольника $ABC$ связан с углом $\angle M$ треугольника $MKP$ соотношением $\angle A = 180^\circ - 2 \angle APM$. Углы $\triangle MKP$ — это углы между хордами, соединяющими точки касания. Существует формула связи углов исходного треугольника и треугольника, образованного точками касания: $\angle A = 180^\circ - 2 \cdot \angle (вершина \; M) = 180^\circ - 2 \cdot \angle P M K$ (нет, вернее будет через формулу связи): Углы треугольника, образованного точками касания, равны $90^\circ - \frac{A}{2}, 90^\circ - \frac{B}{2}, 90^\circ - \frac{C}{2}$. 3. Пусть $\angle MKP = 78^\circ$, $\angle KPM = 64^\circ$, $\angle PMK = 38^\circ$ (расставим углы в порядке соответствия сторонам или просто примем значения углов треугольника $MKP$). Если $90^\circ - \frac{A}{2} = 38^\circ$, то $\frac{A}{2} = 52^\circ \implies A = 104^\circ$. Если $90^\circ - \frac{B}{2} = 78^\circ$, то $\frac{B}{2} = 12^\circ \implies B = 24^\circ$. Если $90^\circ - \frac{C}{2} = 64^\circ$, то $\frac{C}{2} = 26^\circ \implies C = 52^\circ$. 4. Проверка: $104^\circ + 24^\circ + 52^\circ = 180^\circ$. Верно. **Ответ: 104^\circ, 24^\circ, 52^\circ.**