Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Углы при основании: $57^{\circ}$ и $57^{\circ}$. Угол при вершине: $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **Ответ: $66^{\circ}$**. 2. На рис. 277 прямые $AE$ и $MK$ пересекаются секущими $AC$ и $CD$. $\angle FAC = 104^{\circ}$, $\angle AMB = 76^{\circ}$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle FAC$ и $\angle AMB$ (при прямых $AE$, $MK$ и секущей $AB$) равна $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, $AE \parallel MK$. При параллельных прямых $AE$ и $MK$ и секущей $CD$ накрест лежащие углы равны: $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. **Ответ: $40^{\circ}$**. 3. Рассмотрим $\triangle KNF$. По теореме о сумме углов треугольника: $\angle KNF = 180^{\circ} - (\angle NKF + \angle NFK) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + \angle F)$. С другой стороны, $\angle KNF$ — внешний угол для $\triangle MNL$. По свойству внешнего угла: $\angle KNF = \angle NML + \angle MLN$. Однако данных о $\angle MLN$ недостаточно. Воспользуемся $\triangle KMF$: $\angle K + \angle M + \angle F = 180^{\circ}$. $72^{\circ} + 24^{\circ} + \angle F = 180^{\circ} \Rightarrow \angle F = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. **Ответ: $84^{\circ}$**. 4. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 30^{\circ} \Rightarrow \angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. Так как $BM$ — биссектриса, то $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$, значит $\triangle ABM$ — равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. В прямоугольном $\triangle MBC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): катет $MC$ лежит против угла $\angle MBC = 30^{\circ}$, значит $MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. **Ответ: 9 см**. 5. **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle BFE$ и $\triangle DEF$. По условию $BF = DE$, $\angle BFE = \angle DEF$ (так как $\angle BFE$ и $\angle DEF$ — накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$, а по условию даны $\angle AED = \angle CFB$, что требует уточнения рисунка, но если $BC \parallel AD$, то $\triangle BFC = \triangle DEA$ по стороне и двум углам). 2) Из $BC \parallel AD$ следует, что $\angle CBD = \angle ADB$ (накрест лежащие). 3) Рассмотрим $\triangle BCF$ и $\triangle DAE$: $BF = DE$ (усл.), $\angle BFC = \angle DEA$ (усл.), $\angle CBF = \angle ADE$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$). 4) $\triangle BCF = \triangle DAE$ по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства следует $BC = AD$. 5) В четырехугольнике $ABCD$ стороны $BC \parallel AD$ и $BC = AD$. По признаку параллелограмма $ABCD$ — параллелограмм. Следовательно, $AB \parallel CD$. Что и требовалось доказать.