Контрольная работа № 3. Тема: Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**Ответ:** 1. **66°** 2. **64°** 3. **46°** **Решение:** 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании по $57^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике $180^{\circ}$. $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. 2. На рис. 277 прямые $FE$ и $MK$ параллельны, так как сумма односторонних углов $\angle FAB$ и $\angle ABM$ равна $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CED = \angle EDK$ (не используется напрямую) и соответственные углы равны. Рассмотрим треугольник $CDD_1$ (где $D_1$ на прямой $MK$). Угол $\angle BCD$ является смежным или вычисляется через углы треугольника. Угол $\angle DCE$ и $\angle CDK$ — накрест лежащие при $FE \parallel MK$ и секущей $CD$. Значит, $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ} + 24^{\circ}$ (если рассматривать весь угол) или из суммы углов. Уточним по рисунку: $\angle DCE$ и $\angle CDK$ являются накрест лежащими. $\angle CDK = 40^{\circ}$. $\\angle BCD = 180^{\circ} - 76^{\circ} - 40^{\circ} = 64^{\circ}$ (как внутренние односторонние). Ответ: $64^{\circ}$. 3. В треугольнике $MKP$ (рис. 278): $\\angle KMP = 180^{\circ} - 72^{\circ} - (38^{\circ} + 24^{\circ} + ...)$ — недостаточно данных напрямую. Рассмотрим треугольник $MNF$: $\angle MNF = 180^{\circ} - 24^{\circ} - \angle F$. В треугольнике $KNF$: $\angle KNF = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 38^{\circ} = 70^{\circ}$. Углы $\angle KNF$ и $\angle MNF$ смежные: $\angle MNF = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$. В $\triangle MNF$: $\angle F = 180^{\circ} - (110^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ}$.