Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. Найдите углы при основании этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ}$ — сумма двух углов при основании. 2) $124^{\circ} : 2 = 62^{\circ}$ — каждый угол при основании. **Ответ: 62° и 62°**. 2. На рис. 268 прямые $EF$ и $MK$ параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей $AB$ равны ($56^{\circ} = 56^{\circ}$). Угол $BCD$ и угол при вершине $C$ ($72^{\circ}$) являются смежными? Нет, по рисунку угол $\angle MCB = 72^{\circ}$ (накрест лежащий с углом при $M$ не подходит). Рассмотрим углы при параллельных прямых: 1) Прямые параллельны по признаку равенства накрест лежащих углов ($56^{\circ}$). 2) Угол $\angle CMK$ и угол $\angle MCD$ — односторонние при параллельных прямых и секущей $MC$. Но нам дан угол $72^{\circ}$, который является внутренним накрест лежащим для $\angle CMK$. Значит, $\angle CMK = 72^{\circ}$. **Ответ: 72°**. 3. Рассмотрим треугольник $DBF$ на рис. 269. 1) В треугольнике $DBF$ угол $\angle BDF = 48^{\circ}$, $\angle DFB = 64^{\circ}$. Тогда $\angle DBF = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 64^{\circ}) = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$. 2) Угол $\angle ABE$ и $\angle DBF$ — вертикальные, значит $\angle ABE = 68^{\circ}$. 3) В треугольнике $ABE$: $\angle A = 180^{\circ} - (\angle AEB + \angle ABE) = 180^{\circ} - (15^{\circ} + 68^{\circ}) = 180^{\circ} - 83^{\circ} = 97^{\circ}$. **Ответ: 97°**. 4. В $\triangle ABC$: $\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ} \Rightarrow \angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. В $\triangle ADC$: $\angle C=90^{\circ}, \angle ADC=60^{\circ} \Rightarrow \angle DAC = 30^{\circ}$. Катет $CD$ лежит против угла в $30^{\circ}$ в $\triangle ADC$, значит гипотенуза $AD = 2 \cdot CD = 2 \cdot 5 = 10$ см. В $\triangle ABD$: $\angle B=30^{\circ}$, $\angle DAB = \angle A - \angle DAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Так как углы при основании $AB$ равны, $\triangle ABD$ — равнобедренный, $BD = AD = 10$ см. Катет $BC = BD + CD = 10 + 5 = 15$ см. **Ответ: 15 см**.