1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**1.** **Ответ: 66°** 1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, оба угла составляют по $57^{\circ}$. 2) Сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ}$. 3) Угол при вершине равен: $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **2.** **Ответ: 36°** 1) Проверим параллельность прямых $FE$ и $MK$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle FAB = 104^{\circ}$ и $\angle MBA = 76^{\circ}$ равна $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, $FE \parallel MK$. 2) $\angle DCE$ и $\angle CDK$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых $FE$, $MK$ и секущей $CK$. Следовательно, они равны. 3) $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. **Допущение:** На чертеже дугами отмечены равные углы, однако значение $40^{\circ}$ относится к углу $CDK$. Если рассматривать $\angle DCE$ как смежный к углу $FCA$, данных недостаточно. Исходя из стандартных задач, ищется угол, связанный с параллельностью. Если же $\angle DCE$ — это угол, отмеченный дугой справа от точки $C$, то $\angle DCE = 40^{\circ}$. Однако, если $\angle BCD$ (отмеченный одной дугой) равен $180^{\circ} - 104^{\circ} - 40^{\circ} = 36^{\circ}$, то $\angle DCE = 36^{\circ}$ как вертикальный. **3.** **Ответ: 46°** 1) Рассмотрим $\triangle MKP$. Сумма его углов $180^{\circ}$. 2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для $\triangle MNF$ угол $\angle KNF$ является внешним: $\angle KNF = \angle NMF + \angle NFM$. 3) Из $\triangle MKP$: $\angle KPM = 180^{\circ} - (\angle K + \angle M) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 184^{\circ}$. 4) Рассмотрим $\triangle NPF$. Угол $\angle KNF = 38^{\circ}$ (по чертежу). В треугольнике $MNF$ угол $\angle NMF = 24^{\circ}$. Тогда $\angle F = \angle KNF - \angle NMF = 38^{\circ} - 24^{\circ} = 14^{\circ}$ (если 38 — внешний). 5) Иначе: в $\triangle MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle K - \angle M = 180^{\circ} - 72^{\circ} - (24^{\circ} + \dots)$. **Допущение:** Рассмотрим треугольник $MKF$. Угол $\angle K = 72^{\circ}$. $\angle M = 24^{\circ} + \angle NMF$. По чертежу в $\triangle MNF$ угол при $N$ смежный с $38^{\circ}$, т.е. $142^{\circ}$. Тогда $\angle F$ в $\triangle MNF = 180^{\circ} - 142^{\circ} - 24^{\circ} = 14^{\circ}$. Если рассматривать большой треугольник $MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - 72^{\circ} - \angle M$. Судя по чертежу и сумме углов: $\angle F = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ} + 38^{\circ}) = 46^{\circ}$.