Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.

Решение задачи № 24: 1. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. По условию, три стороны равны. В параллелограмме противоположные стороны попарно равны. Если три стороны равны (например, $a, b, a$), то $a = b$. Значит, параллелограмм — ромб. 2. Периметр параллелограмма (ромба) $P = 2(a + a) = 4a$. 3. Четверть периметра равна $\frac{4a}{4} = a$. 4. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма (ромба), параллелен двум другим сторонам и равен по длине сторонам $a$ (свойство средней линии или отрезка в параллелограмме). 5. Таким образом, длина этого отрезка равна $a$, что в точности составляет четверть периметра. Решение задачи № 25: 1. Пусть углы треугольника $MKP$ (треугольника, образованного точками касания) равны $\angle M = 38^\circ$, $\angle K = 78^\circ$, $\angle P = 64^\circ$. 2. Углы треугольника $ABC$ связаны с углами треугольника $MKP$ формулами через дуги, стягиваемые хордами: $\angle A = 180^\circ - 2 \cdot \angle M_{соответствующий}$. 3. Точнее: $\angle A = 180^\circ - 2\angle M = 180^\circ - 2 \cdot 38^\circ = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$ (если $M$ - вершина, противолежащая стороне $BC$, но здесь $M, K, P$ — точки касания). 4. Правильные соотношения: $\angle A = 180^\circ - 2\angle M_{угла}$, где $M$ — угол при вершине $A$ в треугольнике $MKP$ (ошибка в формулировке, обычно используются углы между касательными). Формула углов треугольника $ABC$ через углы треугольника $MKP$: $\angle A = 180^\circ - 2\angle M$ (если $\angle M$ — угол треугольника $MKP$ при вершине, соответствующей $A$). 5. Верный расчет: $\angle A = 180^\circ - 2 \cdot 38^\circ = 104^\circ$ $\angle B = 180^\circ - 2 \cdot 78^\circ = 24^\circ$ $\angle C = 180^\circ - 2 \cdot 64^\circ = 52^\circ$ 6. Проверка суммы: $104^\circ + 24^\circ + 52^\circ = 180^\circ$. Все верно. Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $104^\circ$, $24^\circ$, $52^\circ$.