Решите неравенство: a) x^2 + x - 42 <= 0

573. Решите неравенство: а) $x^2 + x - 42 \le 0$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + x - 42 = 0$ с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$$ Теперь построим параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положительный), и отметим корни на числовой прямой. :::div .chart-container @chart-1::: Мы ищем значения, где функция меньше или равна 0. Это интервал между корнями, включая сами корни. **Ответ: $[-7; 6]$** б) $(x + 11)(x + 4)(x - 1) > 0$ Найдём корни уравнения: $(x + 11)(x + 4)(x - 1) = 0$. Корни: $x = -11$, $x = -4$, $x = 1$. Расположим эти корни на числовой прямой и определим знаки произведения на полученных интервалах (метод интервалов). :::div .chart-container @chart-2::: Проверим знак в каждом интервале: * При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2+11)(2+4)(2-1) = 13 \cdot 6 \cdot 1 = 78 > 0$. Значит, интервал $(1; +\infty)$ имеет знак плюс. * При $-4 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+11)(0+4)(0-1) = 11 \cdot 4 \cdot (-1) = -44 < 0$. Значит, интервал $(-4; 1)$ имеет знак минус. * При $-11 < x < -4$ (например, $x=-5$): $(-5+11)(-5+4)(-5-1) = 6 \cdot (-1) \cdot (-6) = 36 > 0$. Значит, интервал $(-11; -4)$ имеет знак плюс. * При $x < -11$ (например, $x=-12$): $(-12+11)(-12+4)(-12-1) = (-1) \cdot (-8) \cdot (-13) = -104 < 0$. Значит, интервал $(-\infty; -11)$ имеет знак минус. Нас интересуют интервалы, где выражение строго больше 0. **Ответ: $(-11; -4) \cup (1; +\infty)$**