Решите неравенство: $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$

а) Решим неравенство $2x(3x-1) > 4x^2 + 5x + 9$ Раскроем скобки: $6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $6x^2 - 4x^2 - 2x - 5x - 9 > 0$ $2x^2 - 7x - 9 > 0$ Найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$ $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$ Так как парабола $2x^2 - 7x - 9$ направлена ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше 0), то неравенство $2x^2 - 7x - 9 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями. **Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4.5; +\infty)$** б) Решим неравенство $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13$ Раскроем скобки: $5x \cdot x + 5x \cdot (-2) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-2) < 21x^2 - 11x - 13$ $5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$ $5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $0 < 21x^2 - 5x^2 - 11x + 3x - 13 + 14$ $0 < 16x^2 - 8x + 1$ Или, что то же самое: $16x^2 - 8x + 1 > 0$ Заметим, что левая часть является полным квадратом: $(4x - 1)^2 > 0$ Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех значений, при которых $(4x - 1)^2 = 0$. $(4x - 1)^2 = 0 \implies 4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = 0.25$ Таким образом, неравенство $(4x - 1)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x = 0.25$. **Ответ: $x \in (-\infty; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$**