Билет №1 1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

### Билет №1 1. **Параллелограмм:** Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства: противоположные стороны и углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. *Доказательство:* В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$. У них $\angle OAB = \angle OCD$ и $\angle OBA = \angle ODC$ (как накрест лежащие при $AB||CD$ и секущих $AC, BD$), $AB=CD$ (противоположные стороны). Значит, $\triangle AOB = \triangle COD$ по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, $AO=OC$ и $BO=OD$. 2. **Синус:** Отношение противолежащего катета к гипотенузе. Значения: $\sin 30^\circ = 1/2$; $\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2$; $\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$. 3. **Решение:** Стороны относятся как $5:7:8:9:10$. Пусть части равны $x$. Тогда периметр $P = 5x + 7x + 8x + 9x + 10x = 39x$. Уравнение: $39x = 117$, откуда $x = 117 / 39 = 3$. Наибольшая сторона: $10x = 10 \cdot 3 = 30$ см. 4. **Верные ответы:** 1, 3, 5. ### Билет №2 1. **Признаки параллелограмма:** - Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. - Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм. - Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. 2. **Косинус:** Отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значения: $\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$; $\cos 45^\circ = \sqrt{2}/2$; $\cos 60^\circ = 1/2$. 3. **Решение:** Пусть высота $BH$ делит сторону $CD$ на $CH$ и $HD$. В $\triangle BHC$: $\angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ (так как $BC || AD$ неверно, тут углы по условию). По условию $\angle HCB = 30^\circ$, тогда в $\triangle BHC$ катет $BH$ напротив $30^\circ$ равен $BC/2$. Высота делит $CD$ пополам, значит $CH=HD$. В итоге, $ABCD$ — ромб со стороной $12$ см. Периметр $P = 4 \cdot 12 = 48$ см. 4. **Верные ответы:** 5. (В остальных пунктах утверждения ложны или неполны). ### Билет №3 1. **Прямоугольник:** Параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойство: диагонали прямоугольника равны. *Доказательство:* Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABD$ и $ACD$ (с общим катетом $AD$). Они равны по двум катетам ($AB=CD$, $AD=AD$). Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: $BD = AC$. 2. **Тангенс:** Отношение противолежащего катета к прилежащему. Значения: $\tan 30^\circ = \sqrt{3}/3$; $\tan 45^\circ = 1$; $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. 3. **Решение:** Трапеция $ABCD$ ($AD || BC$), $AD=24$, $BC=12$, $\angle A = 60^\circ$. Высота $BH$ опускается на $AD$. $\triangle ABH$ — прямоугольный, $\angle A = 60^\circ$, значит $\angle ABH = 30^\circ$. $AH = (AD-BC)/2 = (24-12)/2 = 6$. Тогда $AB = 2 \cdot AH = 12$ (так как напротив $30^\circ$). В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: $AB=CD=12$. Периметр $P = 12 + 12 + 12 + 24 = 60$ см. 4. **Верные ответы:** 3, 5.