Решите неравенство: a) $2x(3x-1) > 4x^2 + 5x + 9$

а) Решим неравенство $2x(3x-1) > 4x^2 + 5x + 9$: Раскроем скобки: $$6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$6x^2 - 4x^2 - 2x - 5x - 9 > 0$$ Приведём подобные слагаемые: $$2x^2 - 7x - 9 > 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$$ Поскольку ветви параболы направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$) и неравенство строго больше нуля, решение будет вне интервала между корнями. **Ответ:** $(-\infty; -1) \cup (4.5; +\infty)$ б) Решим неравенство $(5x+7)(x-2) < 21x^2 - 11x - 13$: Раскроем скобки: $$5x \cdot x + 5x \cdot (-2) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-2) < 21x^2 - 11x - 13$$ $$5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$$ $$5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$$ Перенесём все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным: $$0 < 21x^2 - 5x^2 - 11x + 3x - 13 + 14$$ $$0 < 16x^2 - 8x + 1$$ Или так: $$16x^2 - 8x + 1 > 0$$ Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом: $(4x - 1)^2$. $$(4x - 1)^2 > 0$$ Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. Значит, неравенство будет выполняться для всех $x$, кроме тех значений, при которых $(4x - 1)^2 = 0$. $$4x - 1 = 0$$ $$4x = 1$$ $$x = \frac{1}{4}$$ $$x = 0.25$$ Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 0.25$. **Ответ:** $(-\infty; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$