Решите неравенство: a) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$

а) Решим неравенство $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$: Раскрываем скобки: $$6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$$ Переносим все члены в левую часть: $$6x^2 - 4x^2 - 2x - 5x - 9 > 0$$ Приводим подобные члены: $$2x^2 - 7x - 9 > 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$$ Так как парабола $2x^2 - 7x - 9$ направлена ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше 0), неравенство $2x^2 - 7x - 9 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней. **Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)$** б) Решим неравенство $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13$: Раскрываем скобки: $$5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$$ $$5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$$ Переносим все члены в правую часть: $$0 < 21x^2 - 5x^2 - 11x + 3x - 13 + 14$$ Приводим подобные члены: $$0 < 16x^2 - 8x + 1$$ или $$16x^2 - 8x + 1 > 0$$ Заметим, что это квадрат разности: $$(4x - 1)^2 > 0$$ Данное неравенство верно для всех $x$, кроме тех значений, при которых выражение равно нулю. $$4x - 1 = 0$$ $$4x = 1$$ $$x = \frac{1}{4}$$ **Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$**