Решите неравенство: a) (x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0;

а) Чтобы решить неравенство $(x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0$, найдем корни каждого множителя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ $x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12$ Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак выражения в каждом интервале: - Для $x < 2$, например $x = 0$: $(0 - 2)(0 - 5)(0 - 12) = (-2)(-5)(-12) = 10 \cdot (-12) = -120 < 0$ - Для $2 < x < 5$, например $x = 3$: $(3 - 2)(3 - 5)(3 - 12) = (1)(-2)(-9) = 18 > 0$ - Для $5 < x < 12$, например $x = 6$: $(6 - 2)(6 - 5)(6 - 12) = (4)(1)(-6) = -24 < 0$ - Для $x > 12$, например $x = 13$: $(13 - 2)(13 - 5)(13 - 12) = (11)(8)(1) = 88 > 0$ Нам нужно, чтобы выражение было больше 0. Это происходит в интервалах $(2; 5)$ и $(12; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (2; 5) \cup (12; +\infty)$ б) Чтобы решить неравенство $(x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0$, найдем корни каждого множителя: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$ $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак выражения в каждом интервале: - Для $x < -7$, например $x = -8$: $(-8 + 7)(-8 + 1)(-8 - 4) = (-1)(-7)(-12) = 7 \cdot (-12) = -84 < 0$ - Для $-7 < x < -1$, например $x = -2$: $(-2 + 7)(-2 + 1)(-2 - 4) = (5)(-1)(-6) = 30 > 0$ - Для $-1 < x < 4$, например $x = 0$: $(0 + 7)(0 + 1)(0 - 4) = (7)(1)(-4) = -28 < 0$ - Для $x > 4$, например $x = 5$: $(5 + 7)(5 + 1)(5 - 4) = (12)(6)(1) = 72 > 0$ Нам нужно, чтобы выражение было меньше 0. Это происходит в интервалах $(-\infty; -7)$ и $(-1; 4)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4)$ в) Чтобы решить неравенство $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0$, найдем корни каждого множителя: $x = 0$ $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$ Расположим корни в порядке возрастания: $-5, -1, 0, 8$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак выражения в каждом интервале: - Для $x < -5$, например $x = -6$: $(-6)(-6 + 1)(-6 + 5)(-6 - 8) = (-6)(-5)(-1)(-14) = 30 \cdot 14 = 420 > 0$ - Для $-5 < x < -1$, например $x = -2$: $(-2)(-2 + 1)(-2 + 5)(-2 - 8) = (-2)(-1)(3)(-10) = 2 \cdot (-30) = -60 < 0$ - Для $-1 < x < 0$, например $x = -0.5$: $(-0.5)(-0.5 + 1)(-0.5 + 5)(-0.5 - 8) = (-0.5)(0.5)(4.5)(-8.5) = -0.25 \cdot (-38.25) = 9.5625 > 0$ - Для $0 < x < 8$, например $x = 1$: $(1)(1 + 1)(1 + 5)(1 - 8) = (1)(2)(6)(-7) = 12 \cdot (-7) = -84 < 0$ - Для $x > 8$, например $x = 9$: $(9)(9 + 1)(9 + 5)(9 - 8) = (9)(10)(14)(1) = 90 \cdot 14 = 1260 > 0$ Нам нужно, чтобы выражение было больше 0. Это происходит в интервалах $(-\infty; -5)$, $(-1; 0)$ и $(8; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty)$