Точки C и D делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 5 и 7. DK - диаметр окружности. Вычислите градусные меры углов треугольника CDK.

### Задача 1 Пусть градусные меры дуг, на которые точки $C$ и $D$ делят окружность, равны $5x$ и $7x$. Сумма градусных мер дуг равна $360^\circ$: $5x + 7x = 360^\circ$ $12x = 360^\circ$ $x = 30^\circ$ Тогда одна дуга $CD = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$, а вторая (большая дуга $CD$) $= 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$. Так как $DK$ — диаметр, то дуга $DK = 180^\circ$. В треугольнике $CDK$ углы опираются на дуги окружности: 1. Угол $\angle KDC$ опирается на дугу $CK$. Поскольку дуга $DK = 180^\circ$, а дуга $CD = 150^\circ$, то дуга $CK = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle KDC = 30^\circ / 2 = 15^\circ$. 2. Угол $\angle DCK$ опирается на диаметр $DK$, значит $\angle DCK = 90^\circ$. 3. Угол $\angle CKD = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$. **Ответ: $15^\circ, 90^\circ, 75^\circ$.** ### Задача 2 По свойству пересекающихся хорд $AP \cdot PB = KP \cdot PM$. Дано: $AP = 12$ см, $AB = 19,5$ см, $PM = KP - 9$. $PB = AB - AP = 19,5 - 12 = 7,5$ см. Пусть $KP = x$, тогда $PM = x - 9$. Уравнение: $12 \cdot 7,5 = x(x - 9)$ $90 = x^2 - 9x$ $x^2 - 9x - 90 = 0$ Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4(1)(-90)}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 360}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{9 \pm 21}{2}$ $x_1 = 15$, $x_2 = -6$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной). **Ответ: $15$ см.** ### Задача 3 Пусть $a = 18$ см (основание), $b = 15$ см (боковые стороны). 1. Найдем высоту $h$, опущенную на основание. Она делит основание пополам (9 см) и образует прямоугольный треугольник. $h = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см. 2. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108$ см$^2$. 3. Полупериметр $p = (15 + 15 + 18) / 2 = 48 / 2 = 24$ см. 4. Радиус вписанной окружности $r = S / p = 108 / 24 = 4,5$ см. **Ответ: $4,5$ см.**