Решите неравенство $- \frac{19}{x^2+x-12} \le 0$

Решим неравенство: $$ -\frac{19}{x^2+x-12} \le 0 $$ Для начала умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства поменяется на противоположный: $$ \frac{19}{x^2+x-12} \ge 0 $$ Так как числитель $19$ всегда положительный, то для выполнения неравенства знаменатель тоже должен быть положительным: $$ x^2+x-12 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+x-12=0$ с помощью дискриминанта. $$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 $$ $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $$ $$ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ Значит, квадратный трехчлен можно разложить на множители: $(x-(-4))(x-3) = (x+4)(x-3)$. Нам нужно, чтобы $(x+4)(x-3) > 0$. Решим это неравенство методом интервалов. Точки $-4$ и $3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 3)$, $(3; +\infty)$. Проверим знак выражения $(x+4)(x-3)$ на каждом интервале: * Для интервала $(-\infty; -4)$, например $x=-5$: $(-5+4)(-5-3) = (-1)(-8) = 8 > 0$. * Для интервала $(-4; 3)$, например $x=0$: $(0+4)(0-3) = (4)(-3) = -12 < 0$. * Для интервала $(3; +\infty)$, например $x=4$: $(4+4)(4-3) = (8)(1) = 8 > 0$. Нам подходят интервалы, где выражение больше нуля. **Ответ:** $x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$