Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна √12 и образует с плоскостью этой грани угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.

Фотография

Ответ ассистента

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда будут $a$ и $b$, а высота $h$. Так как одна из граней — квадрат, то $a = b$. Обозначим сторону квадрата как $a$. Тогда площадь основания будет $a^2$. Диагональ параллелепипеда $D = \sqrt{12}$. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью этой грани (квадрата) равен $60^{\circ}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, диагональю грани (квадрата) и высотой параллелепипеда. Диагональ грани-квадрата $d_г = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Из прямоугольного треугольника: $$d_г = D \cdot \cos(60^{\circ})$$ $$a\sqrt{2} = \sqrt{12} \cdot \frac{1}{2}$$ $$a\sqrt{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{2}$$ $$a\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2}$$ $$a\sqrt{2} = \sqrt{3}$$ $$a = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$ Теперь найдём высоту $h$: $$h = D \cdot \sin(60^{\circ})$$ $$h = \sqrt{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$h = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$h = 3$$ Объём параллелепипеда $V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h$. $$V = \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 \cdot 3$$ $$V = \frac{3}{2} \cdot 3$$ $$V = \frac{9}{2} = 4,5$$ **Ответ:** 4,5

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения