Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

Question

Вопрос:

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

$Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда будут $a$, $b$, $c$. Одна из граней — квадрат, значит, две стороны равны. Пусть это будет грань со сторонами $a$ и $b$, то есть $a=b$. Диагональ параллелепипеда $D = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$. По условию $D = \sqrt{8}$. Значит, $a^2+b^2+c^2 = 8$. Так как $a=b$, то $2a^2+c^2 = 8$. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью грани — это угол между диагональю и её проекцией на эту грань. Проекция диагонали параллелепипеда на грань с измерениями $a$ и $b$ — это диагональ этой грани, равная $d = \sqrt{a^2+b^2}$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю параллелепипеда $D$, высотой $c$ (перпендикуляром к грани) и диагональю грани $d$, угол между $D$ и $d$ равен $45^\circ$. Тогда $\cos 45^\circ = \frac{d}{D}$. $d = D \cdot \cos 45^\circ = \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{16}{2}} = \sqrt{4} = 2$. Так как $d = \sqrt{a^2+b^2}$ и $a=b$, то $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. $a\sqrt{2} = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Значит, $a = b = \sqrt{2}$. Теперь найдем $c$ из уравнения $2a^2+c^2 = 8$: $2(\sqrt{2})^2+c^2 = 8$ $2 \cdot 2 + c^2 = 8$ $4 + c^2 = 8$ $c^2 = 4 \Rightarrow c = 2$. Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$. $V = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$. **Ответ:** $4$

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения