Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

Question

Вопрос:

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

$Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда будут $a$, $b$ и $c$. Одна из граней — квадрат, пусть это грань с измерениями $a \times a$. Тогда $b = a$. Диагональ параллелепипеда $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Дано, что $d = \sqrt{8}$. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью этой грани (квадрата) угол $45^\circ$. Это значит, что угол между диагональю параллелепипеда и диагональю грани-квадрата, которая лежит в той же плоскости и исходит из той же вершины, равен $45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, высотой параллелепипеда (ребром $c$) и диагональю грани-квадрата. В этом треугольнике: - Гипотенуза — диагональ параллелепипеда $d = \sqrt{8}$. - Один из катетов — высота параллелепипеда $c$. - Второй катет — диагональ грани-квадрата $d_г = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью грани — это угол между диагональю параллелепипеда и её проекцией на эту плоскость (то есть диагональю грани). Значит, $\cos 45^\circ = \frac{d_г}{d}$. $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$. $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{a}{2}$. Из этого следует, что $a = \sqrt{2}$. Теперь найдем $c$, используя тот же прямоугольный треугольник: $\sin 45^\circ = \frac{c}{d}$. $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{c}{\sqrt{8}}$. $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{c}{2\sqrt{2}}$. $c = \frac{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$. Итак, измерения параллелепипеда: $a = \sqrt{2}$, $b = a = \sqrt{2}$, $c = 2$. Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$. $V = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$. **Ответ:** $4$

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения