Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{3}$ и образует с плоскостью этой грани угол $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда будут $a$, $b$ и $c$. Одна из граней — квадрат, значит, две стороны этой грани равны. Допустим, $a = b$. Тогда эта грань имеет стороны $a$ и $a$. Диагональ параллелепипеда $d = \sqrt{3}$. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью грани (квадрата со сторонами $a$ и $a$) угол $60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда ($d$), диагональю грани ($d_г$) и третьим ребром параллелепипеда ($c$), которое перпендикулярно этой грани. Длина диагонали грани-квадрата $d_г = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является диагональ параллелепипеда $d = \sqrt{3}$. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью грани равен $60^\circ$. Это угол между $d$ и $d_г$. Тогда: $$c = d \cdot \sin(60^\circ) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$$ $$d_г = d \cdot \cos(60^\circ) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Теперь мы можем найти $a$ из $d_г$: $$a\sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$a = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$ Итак, у нас есть измерения параллелепипеда: $a = \frac{\sqrt{6}}{4}$ $b = a = \frac{\sqrt{6}}{4}$ $c = \frac{3}{2}$ Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$. $$V = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{16} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{16}$$ **Ответ:** $\frac{9}{16}$