Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

**Ответ: а) 2 см, 2 см, 4 см; б) \frac{2}{\sqrt{6}} (или \frac{\sqrt{6}}{3})** **Решение:** Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$. По условию они относятся как $1:1:2$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда: $a = x$ $b = x$ $c = 2x$ Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда $d^2$ равен сумме квадратов трех его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ Подставим известные значения ($d = 2\sqrt{6}$): $(2\sqrt{6})^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2$ $4 \cdot 6 = x^2 + x^2 + 4x^2$ $24 = 6x^2$ $x^2 = 4$ $x = 2$ (так как длина не может быть отрицательной). **а) Измерения параллелепипеда:** $a = 2$ см $b = 2$ см $c = 2 \cdot 2 = 4$ см **б) Синус угла между диагональю и плоскостью основания:** Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания — это угол между самой диагональю ($d$) и ее проекцией на плоскость основания (диагональю основания $d_{осн}$). В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю параллелепипеда, диагональю основания и боковым ребром (высотой $c$): $\sin \alpha = \frac{c}{d}$ $\sin \alpha = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$