Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{3}$ и образует с плоскостью этой грани угол $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

$Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{3}$ и образует с плоскостью этой грани угол $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.$

Фотография

Ответ ассистента

Пусть стороны грани-квадрата будут $a$, а другая сторона прямоугольного параллелепипеда — $b$. Тогда диагональ грани-квадрата равна $d_{грани} = a\sqrt{2}$. Диагональ параллелепипеда ($D$) образует угол $60^\circ$ с плоскостью этой грани. Это значит, что если спроецировать диагональ на эту грань, то проекция будет равна $D \cos 60^\circ$. Проекция диагонали параллелепипеда на грань — это диагональ этой грани. Значит, $d_{грани} = D \cos 60^\circ$. Дано $D = \sqrt{3}$. Тогда $d_{грани} = \sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь найдем сторону квадрата $a$: $a\sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $a = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$. Также, высота параллелепипеда относительно этой грани (сторона $b$) будет равна $D \sin 60^\circ$. $b = D \sin 60^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех измерений: $V = a \cdot a \cdot b$. $V = \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{16} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{16}$. **Ответ:** $\frac{9}{16}$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения