Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{3}$ и образует с плоскостью этой грани угол $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда будут $a, b, c$. Так как одна из граней — квадрат, то две из его сторон равны. Допустим, $a = b$. Тогда площадь этой грани будет $a^2$. Диагональ параллелепипеда $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + c^2} = \sqrt{2a^2 + c^2}$. По условию $d = \sqrt{3}$. Значит, $2a^2 + c^2 = 3$. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью грани-квадрата угол $60^\circ$. Пусть это грань, стороны которой $a$ и $a$. Тогда проекция диагонали параллелепипеда на эту грань — это диагональ квадрата. Длина диагонали квадрата $d_{кв} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, ее проекцией на грань и высотой параллелепипеда, которая перпендикулярна этой грани (т.е. $c$). В этом треугольнике: - Гипотенуза — диагональ параллелепипеда $d = \sqrt{3}$. - Один катет — проекция диагонали на грань $d_{кв} = a\sqrt{2}$. - Другой катет — высота параллелепипеда $c$. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью грани равен $60^\circ$. Это угол между гипотенузой $d$ и катетом $d_{кв}$. Используем тригонометрические соотношения: $$\cos(60^\circ) = \frac{d_{кв}}{d}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ $$a\sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$a = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$ Теперь найдем $c$ из прямоугольного треугольника: $$\sin(60^\circ) = \frac{c}{d}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}}$$ $$c = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$$ Проверим $2a^2 + c^2 = 3$: $$2\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2\left(\frac{6}{16}\right) + \frac{9}{4} = 2\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{9}{4} = \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ Равенство верно. Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$. Так как $a=b$, то $V = a^2c$. $$V = \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{16} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{16}$$ **Ответ:** $\frac{9}{16}$