Найдите объём параллелепипеда, если одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$.

Question

Вопрос:

Найдите объём параллелепипеда, если одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$.

$Найдите объём параллелепипеда, если одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Допустим, что прямоугольный параллелепипед имеет стороны $a$, $b$, $c$. Пусть одна из граней — квадрат со стороной $a$. Тогда $a=b$. Поскольку грань — квадрат, его диагональ равна $d_г = a\sqrt{2}$. Диагональ параллелепипеда $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Дано, что грань — квадрат. Допустим, это грань со сторонами $a$ и $a$. Тогда $b=a$. Длина диагонали этой грани $d_г = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Пусть диагональ параллелепипеда равна $D = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Диагональ параллелепипеда образует угол $45^\circ$ с плоскостью этой грани. Это означает, что угол между диагональю параллелепипеда и диагональю грани, лежащей в той же плоскости, что и проекция диагонали параллелепипеда на эту грань, равен $45^\circ$. Высота параллелепипеда ($c$) является катетом прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является диагональ параллелепипеда $D$, а вторым катетом — диагональ грани $d_г$. Тогда $\sin 45^\circ = \frac{c}{D}$. $c = D \cdot \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 1 = 2$. Также, $\cos 45^\circ = \frac{d_г}{D}$. $d_г = D \cdot \cos 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 1 = 2$. Мы знаем, что $d_г = a\sqrt{2}$, поэтому $2 = a\sqrt{2}$, откуда $a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Итак, стороны параллелепипеда: $a = \sqrt{2}$, $b = a = \sqrt{2}$, $c = 2$. Объём параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$. **Ответ:** 4

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения