На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной работы. ### 11. Нахождение производной На графике производная функции $f'(x_0)$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке $x_0$. По сути, это коэффициент наклона прямой (отношение изменения $y$ к изменению $x$ на графике касательной). a) $x_0 = 2$. Найдем точки на прямой касательной. Видим точки $(0, 8)$ и $(2, 0)$. Наклон: $k = (0 - 8) / (2 - 0) = -4$. б) $x_0 = -2$. Видим точку $(-2, 0)$ и, например, $(0, 8)$. Наклон: $k = (8 - 0) / (0 - (-2)) = 4$. в) $x_0 = 0,4$. Касательная горизонтальна (вершина), наклон $k = 0$. г) $x_0 = 4$. Найдем точки: $(2, 0)$ и $(4, 8)$ (по графику касательной). Наклон: $k = (8 - 0) / (4 - 2) = 4$. ### 12. Исследование функции $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 9$ 1. Найдем производную: $y' = 6x^2 - 18x + 12$. 2. Приравняем к нулю: $6(x^2 - 3x + 2) = 0 \Rightarrow 6(x-1)(x-2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. 3. Интервалы: - При $x < 1$: $y' > 0$ (функция возрастает). - При $1 < x < 2$: $y' < 0$ (функция убывает). - При $x > 2$: $y' > 0$ (функция возрастает). **Ответ:** Точка максимума $x = 1$, точка минимума $x = 2$. Возрастает на $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$, убывает на $[1; 2]$. ### 13. Уравнение $\log_5(3x - 5) = \log_5(x - 3)$ 1. ОДЗ: $3x - 5 > 0$ и $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$. 2. $3x - 5 = x - 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. **Ответ:** Корней нет (так как $1 < 3$). ### 14. Уравнение $4^x - 2^x - 12 = 0$ Пусть $t = 2^x$ ($t > 0$). $t^2 - t - 12 = 0$. Корни: $t_1 = 4, t_2 = -3$ (не подходит). $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$. **Ответ:** $2$. ### 15. Уравнение $2\cos \frac{x}{4} - \sqrt{3} = 0$ $\cos \frac{x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 8\pi n$. **Ответ:** $\pm \frac{2\pi}{3} + 8\pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 16. Тригонометрия $\cos \alpha = \frac{20}{29}$, четверть IV ($?rac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), синус отрицателен. $\sin \alpha = -\sqrt{1 - (20/29)^2} = -\sqrt{(29^2 - 20^2)/29^2} = -\sqrt{(9 \cdot 49)/841} = -21/29$. $\text{tg } \alpha = \sin / \cos = (-21/29) / (20/29) = -21/20 = -1,05$. $\text{ctg } \alpha = 1 / \text{tg } \alpha = -20/21$. ### 17. Предел $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 2x}{2x^2 + 3x - 2}$ Разложим: $\frac{x(x + 2)}{(x + 2)(2x - 1)} = \frac{x}{2x - 1}$. Подставим $-2$: $\frac{-2}{2(-2) - 1} = \frac{-2}{-5} = 0,4$. **Ответ:** $0,4$. ### 18. Уравнение $\sqrt{5x + 6} = -x$ Возведем в квадрат: $5x + 6 = x^2 \Rightarrow x^2 - 5x - 6 = 0$. Корни: $x_1 = 6, x_2 = -1$. Проверка: при $x = 6$, $\sqrt{36} \neq -6$. При $x = -1$, $\sqrt{1} = -(-1)$ (верно). **Ответ:** $-1$. ### 19. Геометрия конуса $d = 14 \Rightarrow r = 7$. $l = 25$. Высота $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. Площадь осевого сечения $S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168$. **Ответ:** $168$. ### 20. Сложные проценты $S = P(1 + r/100)^n = 2500 \cdot (1 + 0,09)^3 = 2500 \cdot (1,09)^3 = 2500 \cdot 1,295029 = 3237,5725$. **Ответ:** $3238$ тыс. рублей.