Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, одна из граней которого — квадрат, диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол 45°

Пусть длина стороны квадрата будет $a$, а высота параллелепипеда — $h$. Диагональ параллелепипеда равна $d_{пар} = \sqrt{8}$. Диагональ грани-квадрата (обозначим её $d_{гр}$) образует прямой угол с ребром, перпендикулярным этой грани. В данном случае диагональ параллелепипеда образует угол 45° с плоскостью грани-квадрата. Значит, проекция диагонали параллелепипеда на эту плоскость — это диагональ квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, высотой параллелепипеда и диагональю грани-квадрата. В этом треугольнике: * Гипотенуза — диагональ параллелепипеда $d_{пар} = \sqrt{8}$. * Один из катетов — высота параллелепипеда $h$. * Другой катет — диагональ грани-квадрата $d_{гр}$. * Угол между $d_{пар}$ и $d_{гр}$ равен 45°. Из этого треугольника можем найти $d_{гр}$ и $h$: $$d_{гр} = d_{пар} \cdot \cos(45°) = \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{16}/2 = 4/2 = 2$$ $$h = d_{пар} \cdot \sin(45°) = \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{16}/2 = 4/2 = 2$$ Теперь найдём сторону квадрата $a$. Диагональ квадрата $d_{гр}$ связана со стороной $a$ формулой $d_{гр} = a\sqrt{2}$. $$a\sqrt{2} = 2$$ $$a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ равен произведению площади основания на высоту. В нашем случае основание — квадрат со стороной $a$, а высота $h$. $$V = a^2 \cdot h$$ $$V = (\sqrt{2})^2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$$ **Ответ:** 4