Постройте график функции $y = x^2 - 4x - 5$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x = 0,5$;

Для построения графика функции $y = x^2 - 4x - 5$ найдём вершину параболы и точки пересечения с осями координат. Координаты вершины параболы ($x_в$, $y_в$): $$x_в = -\frac{b}{2a}$$ Здесь $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$. $$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_в = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$ Вершина параболы: $(2; -9)$. Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ По теореме Виета или через дискриминант найдём корни: Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}$$ $$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ Точки пересечения с осью $Ox$: $(-1; 0)$ и $(5; 0)$. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $$y = (0)^2 - 4(0) - 5 = -5$$ Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -5)$. Дополнительные точки для построения: При $x = 1$: $y = 1^2 - 4(1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$. Точка $(1; -8)$. При $x = 4$: $y = 4^2 - 4(4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$. Точка $(4; -5)$. При $x = -2$: $y = (-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7$. Точка $(-2; 7)$. При $x = 6$: $y = (6)^2 - 4(6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7$. Точка $(6; 7)$. :::div .chart-container @chart-1::: Используя график, найдём: а) значение $y$ при $x = 0,5$: По графику видно, что при $x = 0,5$, $y \approx -6,75$. Проверим алгебраически: $y = (0,5)^2 - 4(0,5) - 5 = 0,25 - 2 - 5 = -6,75$. **Ответ: $y = -6,75$** б) значения $x$, при которых $y = 3$: Начертим на графике горизонтальную прямую $y = 3$. Она пересекает параболу в двух точках. Приблизительно $x \approx -1,7$ и $x \approx 5,7$. Проверим алгебраически: $$x^2 - 4x - 5 = 3$$ $$x^2 - 4x - 8 = 0$$ Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48$. $$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$$ $$x_1 = 2 - 2\sqrt{3} \approx 2 - 2 \cdot 1,732 \approx 2 - 3,464 = -1,464$$ $$x_2 = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 3,464 = 5,464$$ **Ответ: $x_1 \approx -1,46$ и $x_2 \approx 5,46$** в) нули функции; промежутки, в которых $y > 0$ и в которых $y < 0$: Нули функции — это точки пересечения графика с осью $Ox$. Мы их уже нашли. **Нули функции: $x = -1$ и $x = 5$.** $y > 0$ (график выше оси $Ox$) при $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$. $y < 0$ (график ниже оси $Ox$) при $x \in (-1; 5)$. **Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-1; 5)$.** г) промежуток, в котором функция возрастает: Функция возрастает на участке графика, где она идёт вверх. Для параболы $y = ax^2 + bx + c$ с $a > 0$ функция возрастает правее вершины. **Ответ: Функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.**