3.1 Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Давай разберем эту задачу по шагам. Пусть $v$ — собственная скорость лодки (в км/ч). Скорость течения реки $u = 5$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению $v + 5$, а против течения $v - 5$. 1. **Анализ движения плота:** Плот движется со скоростью течения, то есть 5 км/ч. Он проплыл 30 км. Время движения плота: $t_{\text{плота}} = \frac{30}{5} = 6$ часов. 2. **Анализ движения лодки:** Лодка отправилась через 1 час после плота, значит, её время движения $t_{\text{лодки}} = 6 - 1 = 5$ часов. Лодка проделала путь: из A в B (60 км по течению) и обратно из B в A (60 км против течения). Общее время лодки равно сумме времени на путь туда и обратно: $\frac{60}{v+5} + \frac{60}{v-5} = 5$ 3. **Решение уравнения:** Разделим обе части уравнения на 5: $\frac{12}{v+5} + \frac{12}{v-5} = 1$ Приведем к общему знаменателю $(v+5)(v-5) = v^2 - 25$: $12(v-5) + 12(v+5) = v^2 - 25$ $12v - 60 + 12v + 60 = v^2 - 25$ $24v = v^2 - 25$ $v^2 - 24v - 25 = 0$ По теореме Виета или через дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 = 26^2$ $v_1 = \frac{24+26}{2} = 25$ $v_2 = \frac{24-26}{2} = -1$ (не подходит, скорость не может быть отрицательной). **Ответ: 25 км/ч.**