Постройте график функции $y = x^2 - x - 2$. С помощью графика найдите:

Для построения графика функции $y = x^2 - x - 2$ и выполнения заданий, нужно найти вершину параболы, нули функции и несколько дополнительных точек. Уравнение параболы: $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a=1$, $b=-1$, $c=-2$. 1. **Находим координаты вершины параболы.** Координата $x$ вершины: $x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0,5$. Координата $y$ вершины: $y_в = (0,5)^2 - 0,5 - 2 = 0,25 - 0,5 - 2 = -2,25$. Вершина параболы: $(0,5; -2,25)$. 2. **Находим нули функции** (точки пересечения с осью $Ox$, где $y=0$). $x^2 - x - 2 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}$. $x_1 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Нули функции: $x=-1$ и $x=2$. 3. **Построим график функции.** :::div .chart-container @chart-1::: 4. **С помощью графика найдем:** а) **значение $y$ при $x = 1,5$**; На графике видно, что при $x = 1,5$ значение $y = -1,25$. Проверим расчетом: $y = (1,5)^2 - 1,5 - 2 = 2,25 - 1,5 - 2 = 0,75 - 2 = -1,25$. **Ответ: $y = -1,25$** б) **значения $x$, при которых $y = 3$**; Построим на графике горизонтальную линию $y=3$. Точки пересечения этой линии с параболой дают искомые значения $x$. На графике видно, что $y=3$ при $x=-1,79$ и $x=2,79$. Можно решить уравнение: $x^2 - x - 2 = 3 \Rightarrow x^2 - x - 5 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$. $x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$. $x_1 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \approx \frac{1 - 4,58}{2} \approx \frac{-3,58}{2} \approx -1,79$. $x_2 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \approx \frac{1 + 4,58}{2} \approx \frac{5,58}{2} \approx 2,79$. **Ответ: $x \approx -1,79$ и $x \approx 2,79$** в) **нули функции и промежутки знакопостоянства**; Нули функции: $x=-1$ и $x=2$. Промежутки знакопостоянства: * Функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$. * Функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-1; 2)$. **Ответ: Нули функции $x=-1, x=2$. Функция положительна при $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-1; 2)$** г) **промежуток, на котором функция убывает**; Вершина параболы находится в точке $x = 0,5$. Поскольку ветви параболы направлены вверх (коэффициент $a=1 > 0$), функция убывает до вершины и возрастает после вершины. **Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0,5]$** д) **множество значений функции.** Минимальное значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_в = -2,25$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает все значения, которые больше или равны этому минимуму. **Ответ: Множество значений функции $E(y) = [-2,25; +\infty)$**