Постройте график функции $y = x^2 - 2x - 8$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x = -1,5$

Для построения графика функции $y = x^2 - 2x - 8$ и ответа на вопросы, сначала найдем ключевые точки параболы: 1. **Направление ветвей**: Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх. 2. **Координаты вершины параболы**: Формула для нахождения абсциссы вершины $x_в = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 1$, $b = -2$, $c = -8$. $$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$ Для нахождения ординаты вершины $y_в$ подставим $x_в = 1$ в уравнение функции: $$y_в = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$ Вершина параболы находится в точке $(1; -9)$. 3. **Точки пересечения с осью $Oy$**: Положим $x = 0$: $$y = (0)^2 - 2(0) - 8 = -8$$ Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -8)$. 4. **Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции)**: Положим $y = 0$: $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$$ Корни уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(4; 0)$. 5. **Дополнительные точки** (для большей точности): Возьмем, например, $x = -3$: $$y = (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$$ Точка: $(-3; 7)$. Возьмем $x = 5$ (симметрично $x = -3$ относительно $x_в = 1$): $$y = (5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7$$ Точка: $(5; 7)$. Возьмем $x = -1$: $$y = (-1)^2 - 2(-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$$ Точка: $(-1; -5)$. Возьмем $x = 3$ (симметрично $x = -1$ относительно $x_в = 1$): $$y = (3)^2 - 2(3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5$$ Точка: $(3; -5)$. Теперь построим график и ответим на вопросы. :::div .chart-container @chart-1::: а) **Значение $y$ при $x = -1,5$** По графику видно, что при $x = -1,5$, значение $y \approx -4,25$. Можем проверить это подстановкой: $$y = (-1,5)^2 - 2(-1,5) - 8 = 2,25 + 3 - 8 = 5,25 - 8 = -2,75$$ *Допущение: при решении по графику возможны небольшие погрешности. Точное значение $y = -2,75$.* б) **Значения $x$, при которых $y = 3$** Проведем горизонтальную линию $y = 3$ и найдем точки ее пересечения с параболой. По графику видно, что это примерно $x \approx -3$ и $x \approx 5$. Проверим это алгебраически: $$x^2 - 2x - 8 = 3$$ $$x^2 - 2x - 11 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4(1)(-11) = 4 + 44 = 48$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3}$$ $$x_1 = 1 + 2\sqrt{3} \approx 1 + 2 \cdot 1,732 = 1 + 3,464 = 4,464$$ $$x_2 = 1 - 2\sqrt{3} \approx 1 - 3,464 = -2,464$$ *Допущение: при решении по графику возможны небольшие погрешности. Точные значения $x \approx -2,46$ и $x \approx 4,46$.* в) **Нули функции; промежутки, в которых $y > 0$ и в которых $y < 0$** * **Нули функции**: это точки пересечения графика с осью $Ox$. Мы их уже нашли: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. * **$y > 0$ (график выше оси $Ox$)**: $(- \infty; -2) \cup (4; + \infty)$. * **$y < 0$ (график ниже оси $Ox$)**: $(-2; 4)$. г) **Промежуток, в котором функция возрастает** Функция возрастает после вершины параболы, то есть при $x > x_в$. В нашем случае $x_в = 1$. Значит, функция возрастает на промежутке $(1; + \infty)$. **Ответ:** а) При $x = -1,5$, $y \approx -2,75$. б) При $y = 3$, $x \approx -2,46$ и $x \approx 4,46$. в) Нули функции: $x = -2$ и $x = 4$. $y > 0$ при $x \in (- \infty; -2) \cup (4; + \infty)$. $y < 0$ при $x \in (-2; 4)$. г) Функция возрастает на промежутке $(1; + \infty)$.