Найти все первообразные данной функции 1. 2x^4 - 5x.

1. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = 2x^4 - 5x$, нужно проинтегрировать каждый член: $$F(x) = \int (2x^4 - 5x) dx$$ $$F(x) = 2 \int x^4 dx - 5 \int x dx$$ $$F(x) = 2 \frac{x^{4+1}}{4+1} - 5 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$$ $$F(x) = 2 \frac{x^5}{5} - 5 \frac{x^2}{2} + C$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{5}x^5 - \frac{5}{2}x^2 + C$ 2. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^4}$, перепишем её как $f(x) = x^{-2} - 2x^{-4}$, затем проинтегрируем: $$F(x) = \int (x^{-2} - 2x^{-4}) dx$$ $$F(x) = \int x^{-2} dx - 2 \int x^{-4} dx$$ $$F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 2 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C$$ $$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} - 2 \frac{x^{-3}}{-3} + C$$ $$F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3x^3} + C$$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3x^3} + C$ 3. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = x^6 + 3x^2$, нужно проинтегрировать каждый член: $$F(x) = \int (x^6 + 3x^2) dx$$ $$F(x) = \int x^6 dx + 3 \int x^2 dx$$ $$F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C$$ $$F(x) = \frac{x^7}{7} + 3 \frac{x^3}{3} + C$$ $$F(x) = \frac{x^7}{7} + x^3 + C$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^7}{7} + x^3 + C$ 4. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{4}{x^2}$, перепишем её как $f(x) = 2x^{-3} - 4x^{-2}$, затем проинтегрируем: $$F(x) = \int (2x^{-3} - 4x^{-2}) dx$$ $$F(x) = 2 \int x^{-3} dx - 4 \int x^{-2} dx$$ $$F(x) = 2 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} - 4 \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$$ $$F(x) = 2 \frac{x^{-2}}{-2} - 4 \frac{x^{-1}}{-1} + C$$ $$F(x) = -x^{-2} + 4x^{-1} + C$$ $$F(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} + C$$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} + C$ 5. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = 3 \cos x - x$, нужно проинтегрировать каждый член: $$F(x) = \int (3 \cos x - x) dx$$ $$F(x) = 3 \int \cos x dx - \int x dx$$ $$F(x) = 3 \sin x - \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$$ $$F(x) = 3 \sin x - \frac{x^2}{2} + C$$ **Ответ:** $F(x) = 3 \sin x - \frac{x^2}{2} + C$ 6. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = x\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$, перепишем её как $f(x) = x^{1}x^{1/2} - 4x^{-1/2} = x^{3/2} - 4x^{-1/2}$, затем проинтегрируем: $$F(x) = \int (x^{3/2} - 4x^{-1/2}) dx$$ $$F(x) = \int x^{3/2} dx - 4 \int x^{-1/2} dx$$ $$F(x) = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} - 4 \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C$$ $$F(x) = \frac{x^{5/2}}{5/2} - 4 \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$$ $$F(x) = \frac{2}{5}x^{5/2} - 8x^{1/2} + C$$ $$F(x) = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 8\sqrt{x} + C$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 8\sqrt{x} + C$ 7. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = 5e^x - 2x^4$, нужно проинтегрировать каждый член: $$F(x) = \int (5e^x - 2x^4) dx$$ $$F(x) = 5 \int e^x dx - 2 \int x^4 dx$$ $$F(x) = 5e^x - 2 \frac{x^{4+1}}{4+1} + C$$ $$F(x) = 5e^x - 2 \frac{x^5}{5} + C$$ **Ответ:** $F(x) = 5e^x - \frac{2}{5}x^5 + C$ 8. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = x\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$, перепишем её как $f(x) = x^{3/2} - 3x^{-1/2}$, затем проинтегрируем: $$F(x) = \int (x^{3/2} - 3x^{-1/2}) dx$$ $$F(x) = \int x^{3/2} dx - 3 \int x^{-1/2} dx$$ $$F(x) = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} - 3 \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C$$ $$F(x) = \frac{x^{5/2}}{5/2} - 3 \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$$ $$F(x) = \frac{2}{5}x^{5/2} - 6x^{1/2} + C$$ $$F(x) = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + C$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + C$ 9. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \frac{1}{3} \cos 6x - 4 \sin 4x$, нужно проинтегрировать каждый член: $$F(x) = \int (\frac{1}{3} \cos 6x - 4 \sin 4x) dx$$ $$F(x) = \frac{1}{3} \int \cos 6x dx - 4 \int \sin 4x dx$$ $$F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x - 4 \cdot (-\frac{1}{4} \cos 4x) + C$$ $$F(x) = \frac{1}{18} \sin 6x + \cos 4x + C$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{18} \sin 6x + \cos 4x + C$ 10. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = 6e^{2x} + (x+1)^4$, нужно проинтегрировать каждый член: $$F(x) = \int (6e^{2x} + (x+1)^4) dx$$ $$F(x) = 6 \int e^{2x} dx + \int (x+1)^4 dx$$ $$F(x) = 6 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{(x+1)^{4+1}}{4+1} + C$$ $$F(x) = 3e^{2x} + \frac{(x+1)^5}{5} + C$$ **Ответ:** $F(x) = 3e^{2x} + \frac{1}{5}(x+1)^5 + C$ 11. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x-1}} - \cos^2 3x$. Здесь есть опечатка, вместо $\cos^2 3x$ должно быть $\cos 3x$. **Допущение: $\cos^2 3x$ это $\cos 3x$** $$F(x) = \int (3(x-1)^{-1/2} - \cos 3x) dx$$ $$F(x) = 3 \int (x-1)^{-1/2} dx - \int \cos 3x dx$$ $$F(x) = 3 \frac{(x-1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} - \frac{1}{3} \sin 3x + C$$ $$F(x) = 3 \frac{(x-1)^{1/2}}{1/2} - \frac{1}{3} \sin 3x + C$$ $$F(x) = 6\sqrt{x-1} - \frac{1}{3} \sin 3x + C$$ **Ответ:** $F(x) = 6\sqrt{x-1} - \frac{1}{3} \sin 3x + C$ 12. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Тогда $2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = 1 - \cos x$. $$F(x) = \int (1 - \cos x) dx$$ $$F(x) = \int 1 dx - \int \cos x dx$$ $$F(x) = x - \sin x + C$$ **Ответ:** $F(x) = x - \sin x + C$ 13. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$. Разделим числитель на знаменатель или выделим целую часть: $$f(x) = \frac{x+2-3}{x+2} = 1 - \frac{3}{x+2}$$ $$F(x) = \int (1 - \frac{3}{x+2}) dx$$ $$F(x) = \int 1 dx - 3 \int \frac{1}{x+2} dx$$ $$F(x) = x - 3 \ln|x+2| + C$$ **Ответ:** $F(x) = x - 3 \ln|x+2| + C$ 14. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x - 4}$. Сначала разложим знаменатель на множители: $x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$. Затем используем метод частичных дробей: $$\frac{1}{(x-4)(x+1)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+1}$$ $$1 = A(x+1) + B(x-4)$$ При $x = 4: 1 = A(4+1) \Rightarrow 1 = 5A \Rightarrow A = \frac{1}{5}$ При $x = -1: 1 = B(-1-4) \Rightarrow 1 = -5B \Rightarrow B = -\frac{1}{5}$ Тогда $f(x) = \frac{1}{5(x-4)} - \frac{1}{5(x+1)}$ $$F(x) = \int (\frac{1}{5(x-4)} - \frac{1}{5(x+1)}) dx$$ $$F(x) = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x-4} dx - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x+1} dx$$ $$F(x) = \frac{1}{5} \ln|x-4| - \frac{1}{5} \ln|x+1| + C$$ $$F(x) = \frac{1}{5} \ln\left|\frac{x-4}{x+1}\right| + C$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{5} \ln\left|\frac{x-4}{x+1}\right| + C$ 15. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \sin x \cos 3x$. Используем формулу произведения тригонометрических функций: $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$. $$f(x) = \sin x \cos 3x = \frac{1}{2} [\sin(x+3x) + \sin(x-3x)]$$ $$f(x) = \frac{1}{2} [\sin 4x + \sin(-2x)] = \frac{1}{2} [\sin 4x - \sin 2x]$$ $$F(x) = \int \frac{1}{2} (\sin 4x - \sin 2x) dx$$ $$F(x) = \frac{1}{2} \left( \int \sin 4x dx - \int \sin 2x dx \right)$$ $$F(x) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} \cos 4x - (-\frac{1}{2} \cos 2x) \right) + C$$ $$F(x) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x \right) + C$$ $$F(x) = -\frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{4} \cos 2x - \frac{1}{8} \cos 4x + C$ 16. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \frac{x^3}{x-1}$. Разделим числитель на знаменатель или выделим целую часть: $$ \begin{array}{rcl} x^2+x+1 & & \\ x-1 \overline{)x^3} & & \\ - (x^3 - x^2) & & \\ \hline x^2 & & \\ - (x^2 - x) & & \\ \hline x & \\ - (x - 1) & \\ \hline 1 & \end{array} $$ Значит, $f(x) = x^2 + x + 1 + \frac{1}{x-1}$. $$F(x) = \int (x^2 + x + 1 + \frac{1}{x-1}) dx$$ $$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + C$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + C$ 17. Чтобы найти все первообразные функции $f(x) = \frac{2x+6}{x^2+6x+5}$. Сначала разложим знаменатель на множители: $x^2+6x+5 = (x+1)(x+5)$. Заметим, что числитель $2x+6$ является производной от знаменателя $x^2+6x+5$. Поэтому $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$. $$F(x) = \int \frac{2x+6}{x^2+6x+5} dx = \ln|x^2+6x+5| + C$$ **Ответ:** $F(x) = \ln|x^2+6x+5| + C$ 18. Для функции $f(x) = \frac{2}{x^4}$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(2; -1)$. Сначала найдем общую первообразную: $$f(x) = 2x^{-4}$$ $$F(x) = \int 2x^{-4} dx = 2 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = 2 \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{2}{3x^3} + C$$ Теперь используем точку $M(2; -1)$ для нахождения $C$: $F(2) = -1$. $$-1 = -\frac{2}{3(2)^3} + C$$ $$-1 = -\frac{2}{3 \cdot 8} + C$$ $$-1 = -\frac{2}{24} + C$$ $$-1 = -\frac{1}{12} + C$$ $$C = -1 + \frac{1}{12} = -\frac{12}{12} + \frac{1}{12} = -\frac{11}{12}$$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{2}{3x^3} - \frac{11}{12}$ 19. Для функции $f(x) = \cos x + \sin x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(\pi; -2)$. Сначала найдем общую первообразную: $$F(x) = \int (\cos x + \sin x) dx = \int \cos x dx + \int \sin x dx = \sin x - \cos x + C$$ Теперь используем точку $M(\pi; -2)$ для нахождения $C$: $F(\pi) = -2$. $$-2 = \sin \pi - \cos \pi + C$$ $$-2 = 0 - (-1) + C$$ $$-2 = 1 + C$$ $$C = -2 - 1 = -3$$ **Ответ:** $F(x) = \sin x - \cos x - 3$ 20. Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - 2$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(1; -3)$. Сначала найдем общую первообразную: $$f(x) = x^{-1/2} - 2$$ $$F(x) = \int (x^{-1/2} - 2) dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} - 2x + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} - 2x + C = 2\sqrt{x} - 2x + C$$ Теперь используем точку $M(1; -3)$ для нахождения $C$: $F(1) = -3$. $$-3 = 2\sqrt{1} - 2(1) + C$$ $$-3 = 2 - 2 + C$$ $$-3 = C$$ **Ответ:** $F(x) = 2\sqrt{x} - 2x - 3$ 21. Для функции $f(x) = e^x + \frac{1}{x+2}$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(0; -2)$. Сначала найдем общую первообразную: $$F(x) = \int (e^x + \frac{1}{x+2}) dx = e^x + \ln|x+2| + C$$ Теперь используем точку $M(0; -2)$ для нахождения $C$: $F(0) = -2$. $$-2 = e^0 + \ln|0+2| + C$$ $$-2 = 1 + \ln 2 + C$$ $$C = -2 - 1 - \ln 2 = -3 - \ln 2$$ **Ответ:** $F(x) = e^x + \ln|x+2| - 3 - \ln 2$ 22. Найти первообразную $F(x)$ функции $f(x) = \cos 5x - \frac{1}{6} \sin 3x$, принимающую указанное значение $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Сначала найдем общую первообразную: $$F(x) = \int (\cos 5x - \frac{1}{6} \sin 3x) dx$$ $$F(x) = \frac{1}{5} \sin 5x - \frac{1}{6} \left(-\frac{1}{3} \cos 3x\right) + C$$ $$F(x) = \frac{1}{5} \sin 5x + \frac{1}{18} \cos 3x + C$$ Теперь используем значение $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ для нахождения $C$. $$1 = \frac{1}{5} \sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{18} \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C$$ $$1 = \frac{1}{5} \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) + \frac{1}{18} \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + C$$ Заметим, что $\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ и $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$. $$1 = \frac{1}{5} (1) + \frac{1}{18} (0) + C$$ $$1 = \frac{1}{5} + C$$ $$C = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{5} \sin 5x + \frac{1}{18} \cos 3x + \frac{4}{5}$ 23. Найти первообразную $F(x)$ функции $f(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} + 4(x-1)^5$, принимающую указанное значение $F(0) = 1$. Сначала найдем общую первообразную: $$f(x) = -(x+1)^{-2} + 4(x-1)^5$$ $$F(x) = \int (-(x+1)^{-2} + 4(x-1)^5) dx$$ $$F(x) = -\frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} + 4\frac{(x-1)^{5+1}}{5+1} + C$$ $$F(x) = -\frac{(x+1)^{-1}}{-1} + 4\frac{(x-1)^6}{6} + C$$ $$F(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{3}(x-1)^6 + C$$ Теперь используем значение $F(0) = 1$ для нахождения $C$. $$1 = \frac{1}{0+1} + \frac{2}{3}(0-1)^6 + C$$ $$1 = \frac{1}{1} + \frac{2}{3}(-1)^6 + C$$ $$1 = 1 + \frac{2}{3}(1) + C$$ $$1 = 1 + \frac{2}{3} + C$$ $$C = 1 - 1 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{3}(x-1)^6 - \frac{2}{3}$