1. Найдите первообразную для следующих функций: А) f(x) = 132; Б) f(x) = x¹¹; В) f(x) = 1/x⁸; Г) f(x) = -2x + 6x⁹ - 0,5; Д) f(x) = 2/5 + cos x; Е) f(x) = (√2 - 6x)⁵; Ж) f(x) = sin(2x - π/3)

**1. Найдите первообразную для следующих функций:** Общий вид первообразных: $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. А) $f(x) = 132$ Ответ: $F(x) = 132x + C$ Б) $f(x) = x^{11}$ Ответ: $F(x) = \frac{x^{12}}{12} + C$ В) $f(x) = \frac{1}{x^8} = x^{-8}$ Ответ: $F(x) = \frac{x^{-7}}{-7} + C = -\frac{1}{7x^7} + C$ Г) $f(x) = -2x + 6x^9 - 0,5$ Ответ: $F(x) = -x^2 + 0,6x^{10} - 0,5x + C$ Решение: $-2 \cdot \frac{x^2}{2} + 6 \cdot \frac{x^{10}}{10} - 0,5x = -x^2 + 0,6x^{10} - 0,5x$ Д) $f(x) = \frac{2}{5} + \cos x$ Ответ: $F(x) = 0,4x + \sin x + C$ Е) $f(x) = (\sqrt{2} - 6x)^5$ Ответ: $F(x) = -\frac{(\sqrt{2} - 6x)^6}{36} + C$ Решение: Используем формулу для сложной функции $k = -6$: $F(x) = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{-6} \cdot \frac{(\sqrt{2}-6x)^6}{6}$ Ж) $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + C$ --- **2. Найдите первообразную, проходящую через точку M:** А) $f(x) = 7 - 6x^2 + 12x^3, M(2; -25)$ 1. Находим общий вид: $F(x) = 7x - 2x^3 + 3x^4 + C$ 2. Подставляем координаты точки $M(2; -25)$: $-25 = 7(2) - 2(2^3) + 3(2^4) + C$ $-25 = 14 - 16 + 48 + C$ $-25 = 46 + C \Rightarrow C = -71$ Ответ: $F(x) = 7x - 2x^3 + 3x^4 - 71$ Б) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}, M(\frac{3\pi}{4}; -5)$ 1. Находим общий вид: $F(x) = -\text{ctg } x + C$ 2. Подставляем координаты точки $M(\frac{3\pi}{4}; -5)$: $-5 = -\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) + C$ $-5 = -(-1) + C$ $-5 = 1 + C \Rightarrow C = -6$ Ответ: $F(x) = -\text{ctg } x - 6$