Найти все первообразные данной функции (1–17).

1. $$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^5}{5} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} + C$$ **Ответ:** $$\frac{2}{5}x^5 - \frac{5}{2}x^2 + C$$ 2. $$f(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^4} = x^{-2} - 2x^{-4}$$ $$F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 2 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} - 2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3x^3} + C$$ **Ответ:** $$-\frac{1}{x} + \frac{2}{3x^3} + C$$ 3. $$F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^7}{7} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^7}{7} + x^3 + C$$ **Ответ:** $$\frac{x^7}{7} + x^3 + C$$ 4. $$f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{4}{x^2} = 2x^{-3} - 4x^{-2}$$ $$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} - 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} - 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-2} + 4x^{-1} + C = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} + C$$ **Ответ:** $$-\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} + C$$ 5. $$F(x) = 3 \sin x - \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 3 \sin x - \frac{x^2}{2} + C$$ **Ответ:** $$3 \sin x - \frac{x^2}{2} + C$$ 6. $$f(x) = x\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}}$$ $$F(x) = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} - 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 8x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 8\sqrt{x} + C$$ **Ответ:** $$\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 8\sqrt{x} + C$$ 7. $$F(x) = 5e^x - 2 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 5e^x - 2 \cdot \frac{x^5}{5} + C$$ **Ответ:** $$5e^x - \frac{2}{5}x^5 + C$$ 8. $$f(x) = x\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}}$$ $$F(x) = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} - 3 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 6x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + C$$ **Ответ:** $$\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + C$$ 9. $$f(x) = \frac{1}{3}\cos 6x - 4\sin 4x$$ $$F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}\sin 6x - 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\cos 4x\right) + C = \frac{1}{18}\sin 6x + \cos 4x + C$$ **Ответ:** $$\frac{1}{18}\sin 6x + \cos 4x + C$$ 10. $$f(x) = 6e^{2x} + (x+1)^4$$ $$F(x) = 6 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{(x+1)^{4+1}}{4+1} + C = 3e^{2x} + \frac{(x+1)^5}{5} + C$$ **Ответ:** $$3e^{2x} + \frac{(x+1)^5}{5} + C$$ 11. $$f(x) = \frac{3}{\sqrt{x-1}} - \cos^2 3x$$ Допущение: функция в задании имеет вид $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x-1}} - \frac{1+\cos 6x}{2}$ $$F(x) = 3 \cdot 2\sqrt{x-1} - \int \frac{1+\cos 6x}{2} dx = 6\sqrt{x-1} - \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}\sin 6x\right) + C = 6\sqrt{x-1} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}\sin 6x + C$$ **Ответ:** $$6\sqrt{x-1} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}\sin 6x + C$$ 12. $$f(x) = 2\sin^2 \frac{x}{2}$$ Используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ $$f(x) = 2 \cdot \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = 1 - \cos x$$ $$F(x) = x - \sin x + C$$ **Ответ:** $$x - \sin x + C$$ 13. $$f(x) = \frac{x-1}{x+2}$$ Выделим целую часть: $$f(x) = \frac{x+2-3}{x+2} = 1 - \frac{3}{x+2}$$ $$F(x) = x - 3\ln|x+2| + C$$ **Ответ:** $$x - 3\ln|x+2| + C$$ 14. $$f(x) = \frac{1}{x^2-3x-4}$$ Разложим знаменатель на множители: $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$ Представим дробь в виде суммы простых дробей: $$\frac{1}{(x-4)(x+1)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+1}$$ $$1 = A(x+1) + B(x-4)$$ При $x=4$: $1 = A(4+1) \implies 1 = 5A \implies A = \frac{1}{5}$ При $x=-1$: $1 = B(-1-4) \implies 1 = -5B \implies B = -\frac{1}{5}$ $$f(x) = \frac{1}{5(x-4)} - \frac{1}{5(x+1)}$$ $$F(x) = \frac{1}{5}\ln|x-4| - \frac{1}{5}\ln|x+1| + C = \frac{1}{5}\ln\left|\frac{x-4}{x+1}\right| + C$$ **Ответ:** $$\frac{1}{5}\ln\left|\frac{x-4}{x+1}\right| + C$$ 15. $$f(x) = \sin x \cos 3x$$ Используем формулу произведения синуса и косинуса: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$ $$f(x) = \frac{1}{2}(\sin(x+3x) + \sin(x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin(-2x)) = \frac{1}{2}(\sin 4x - \sin 2x)$$ $$F(x) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\cos 4x - \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)\right) + C = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 2x\right) + C = -\frac{1}{8}\cos 4x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$$ **Ответ:** $$-\frac{1}{8}\cos 4x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$$ 16. $$f(x) = \frac{x^3}{x-1}$$ Выделим целую часть делением столбиком: $$\begin{array}{cccc|l} x^3 & & & & x-1 \\ \hline x^3 & -x^2 & & & x^2+x+1 \\ \hline & x^2 & & \\ & x^2 & -x & \\ \hline & & x & \\ & & x & -1 \\ \hline & & & 1 \end{array}$$ $$f(x) = x^2+x+1 + \frac{1}{x-1}$$ $$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + C$$ **Ответ:** $$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + C$$ 17. $$f(x) = \frac{2x+6}{x^2+6x+5}$$ Разложим знаменатель на множители: $x^2+6x+5 = (x+1)(x+5)$ $$\frac{2x+6}{(x+1)(x+5)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+5}$$ $$2x+6 = A(x+5) + B(x+1)$$ При $x=-1$: $2(-1)+6 = A(-1+5) \implies 4 = 4A \implies A=1$ При $x=-5$: $2(-5)+6 = B(-5+1) \implies -4 = -4B \implies B=1$ $$f(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+5}$$ $$F(x) = \ln|x+1| + \ln|x+5| + C = \ln|(x+1)(x+5)| + C$$ **Ответ:** $$\ln|(x+1)(x+5)| + C$$ 18. $$f(x) = \frac{2}{x^4} = 2x^{-4}$$ $$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{2}{3x^3} + C$$ График первообразной проходит через точку $M(2; -1)$. Значит, $F(2) = -1$. $$-1 = -\frac{2}{3(2^3)} + C$$ $$-1 = -\frac{2}{3 \cdot 8} + C$$ $$-1 = -\frac{2}{24} + C$$ $$-1 = -\frac{1}{12} + C$$ $$C = -1 + \frac{1}{12} = -\frac{12}{12} + \frac{1}{12} = -\frac{11}{12}$$ $$F(x) = -\frac{2}{3x^3} - \frac{11}{12}$$ **Ответ:** $$F(x) = -\frac{2}{3x^3} - \frac{11}{12}$$ 19. $$f(x) = \cos x + \sin x$$ $$F(x) = \sin x - \cos x + C$$ График первообразной проходит через точку $M(\pi; -2)$. Значит, $F(\pi) = -2$. $$-2 = \sin \pi - \cos \pi + C$$ $$-2 = 0 - (-1) + C$$ $$-2 = 1 + C$$ $$C = -3$$ $$F(x) = \sin x - \cos x - 3$$ **Ответ:** $$F(x) = \sin x - \cos x - 3$$ 20. $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 = x^{-\frac{1}{2}} - 2$$ $$F(x) = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} - 2x + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - 2x + C = 2\sqrt{x} - 2x + C$$ График первообразной проходит через точку $M(1; -3)$. Значит, $F(1) = -3$. $$-3 = 2\sqrt{1} - 2(1) + C$$ $$-3 = 2 - 2 + C$$ $$-3 = C$$ $$F(x) = 2\sqrt{x} - 2x - 3$$ **Ответ:** $$F(x) = 2\sqrt{x} - 2x - 3$$ 21. $$f(x) = e^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{x+2}$$ $$F(x) = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\frac{1}{2}} + \ln|x+2| + C = 2e^{\frac{x}{2}} + \ln|x+2| + C$$ График первообразной проходит через точку $M(0; -2)$. Значит, $F(0) = -2$. $$-2 = 2e^{\frac{0}{2}} + \ln|0+2| + C$$ $$-2 = 2e^0 + \ln 2 + C$$ $$-2 = 2 \cdot 1 + \ln 2 + C$$ $$-2 = 2 + \ln 2 + C$$ $$C = -2 - 2 - \ln 2 = -4 - \ln 2$$ $$F(x) = 2e^{\frac{x}{2}} + \ln|x+2| - 4 - \ln 2$$ **Ответ:** $$F(x) = 2e^{\frac{x}{2}} + \ln|x+2| - 4 - \ln 2$$ 22. $$f(x) = \cos 5x - \frac{1}{6}\sin 3x$$ $$F(x) = \frac{1}{5}\sin 5x - \frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = \frac{1}{5}\sin 5x + \frac{1}{18}\cos 3x + C$$ Найти первообразную $F(x)$ функции $f(x)$, принимающую указанное значение в заданной точке. $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$. $$1 = \frac{1}{5}\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{18}\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C$$ $$1 = \frac{1}{5}\sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{18}\cos\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right) + C$$ $$1 = \frac{1}{5}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{18}\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + C$$ $$1 = \frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{18} \cdot 0 + C$$ $$1 = \frac{1}{5} + C$$ $$C = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$ $$F(x) = \frac{1}{5}\sin 5x + \frac{1}{18}\cos 3x + \frac{4}{5}$$ **Ответ:** $$F(x) = \frac{1}{5}\sin 5x + \frac{1}{18}\cos 3x + \frac{4}{5}$$ 23. $$f(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} + 4(x-1)^5$$ $$F(x) = -\frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} + 4 \cdot \frac{(x-1)^{5+1}}{5+1} + C$$ $$F(x) = -\frac{(x+1)^{-1}}{-1} + 4 \cdot \frac{(x-1)^6}{6} + C$$ $$F(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{3}(x-1)^6 + C$$ Найти первообразную $F(x)$ функции $f(x)$, принимающую указанное значение в заданной точке. $F(0)=1$. $$1 = \frac{1}{0+1} + \frac{2}{3}(0-1)^6 + C$$ $$1 = \frac{1}{1} + \frac{2}{3}(-1)^6 + C$$ $$1 = 1 + \frac{2}{3} \cdot 1 + C$$ $$1 = 1 + \frac{2}{3} + C$$ $$0 = \frac{2}{3} + C$$ $$C = -\frac{2}{3}$$ $$F(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{3}(x-1)^6 - \frac{2}{3}$$ **Ответ:** $$F(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{3}(x-1)^6 - \frac{2}{3}$$