Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку M (18-21).

Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$. 18. **Ответ: $F(x) = \frac{1}{2x^2} - 2,5$** 1) Найдём общую первообразную для $f(x) = -\frac{1}{x^3} = -x^{-3}$: $$F(x) = -\frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = -\frac{x^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2x^2} + C$$ 2) Подставим координаты точки $M(1; -2)$: $$-2 = \frac{1}{2 \cdot 1^2} + C \Rightarrow -2 = 0,5 + C \Rightarrow C = -2,5$$ 19. **Ответ: $F(x) = -\cos x - \sin x + 2$** 1) Общая первообразная для $f(x) = \sin x - \cos x$: $$F(x) = -\cos x - \sin x + C$$ 2) Подставим координаты точки $M(\frac{\pi}{2}; 1)$: $$1 = -\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) + C \Rightarrow 1 = 0 - 1 + C \Rightarrow C = 2$$ 20. **Ответ: $F(x) = \frac{2\sqrt{x^3}}{3} + \ln|x| - \frac{8}{3}$** 1) Общая первообразная для $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} = x^{1/2} + \frac{1}{x}$: $$F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + \ln|x| + C = \frac{2\sqrt{x^3}}{3} + \ln|x| + C$$ 2) Подставим координаты точки $M(1; -2)$: $$-2 = \frac{2\sqrt{1^3}}{3} + \ln|1| + C \Rightarrow -2 = \frac{2}{3} + 0 + C \Rightarrow C = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$$ 21. **Ответ: $F(x) = 0,5e^{2x} + \ln|x+1| + 1,5$** 1) Общая первообразная для $f(x) = e^{2x} + \frac{1}{x+1}$: $$F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln|x+1| + C$$ 2) Подставим координаты точки $M(0; 2)$: $$2 = 0,5e^0 + \ln|0+1| + C \Rightarrow 2 = 0,5 + 0 + C \Rightarrow C = 1,5$$